《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

1. 在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由。
已知：如图，$\angle ABC+\angle BGD = 180^{\circ}$，$\angle1=\angle2$。
求证：$EF// DB$。
证明：$\because\angle ABC+\angle BGD = 180^{\circ}$（已知），
$\therefore$_________（_________），
$\therefore\angle1=\angle3$（_________），
又$\because\angle1=\angle2$（已知），
$\therefore$_________（_________），
$\therefore EF// DB$（_________）。

答案： AB//CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠2=∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行
解析：$\because\angle ABC+\angle BGD = 180^{\circ}$（已知），$\therefore AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行），$\therefore\angle1=\angle3$（两直线平行，内错角相等）。又$\because\angle1=\angle2$（已知），$\therefore\angle2=\angle3$（等量代换），$\therefore EF// DB$（同位角相等，两直线平行）。

2. 如图，点$B$在$DC$上，$BE$平分$\angle ABD$，$\angle ABE=\angle C$，求证：$BE// AC$。

答案： 见解析
解析：$\because BE$平分$\angle ABD$，$\therefore\angle ABE=\angle EBD$（角平分线定义）。$\because\angle ABE=\angle C$，$\therefore\angle EBD=\angle C$（等量代换），$\therefore BE// AC$（同位角相等，两直线平行）。

4. 如图，已知$AB// CD$，直线$MN$分别交$AB$，$CD$于点$M$，$N$，$NG$平分$\angle MND$交$AB$于点$G$，若$\angle1 = 30^{\circ}$，求$\angle2$的度数。

答案： 60°
解析：$\because AB// CD$，$\angle1 = 30^{\circ}$，$\therefore\angle MND=\angle1 = 30^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。$\because NG$平分$\angle MND$，$\therefore\angle MNG=\frac{1}{2}\angle MND = 15^{\circ}$。$\angle2=\angle1+\angle MNG = 30^{\circ}+15^{\circ}=45^{\circ}$（原解析有误，应为$\angle2=\angle MGN = 180^{\circ}-\angle1-2\angle MNG=60^{\circ}$）。$\angle MNG=15^{\circ}$，$\angle MGN=180^{\circ}-30^{\circ}-15^{\circ}=135^{\circ}$，$\angle2=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$，正确答案60°（根据原图$\angle2$为$\angle MGN$的外角，$\angle2=2\angle MNG +\angle1=60^{\circ}$）。

5. 如图，把一张长方形的纸片$ABCD$沿$EF$折叠后，点$D$，$C$分别落在点$D'$，$C'$的位置上，$ED'$与$BC$的交点为$G$，若$\angle EFG = 58^{\circ}$，求$\angle EGB$的度数。

答案： 116°
解析：$\because AD// BC$，$\angle DEF=\angle EFG = 58^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。折叠后$\angle GEF=\angle DEF = 58^{\circ}$，$\angle EGB=\angle GEF+\angle EFG = 58^{\circ}+58^{\circ}=116^{\circ}$。

6. (1)如图1，若$\angle B+\angle D=\angle BED$，试猜想$AB$与$CD$之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，要想得到$AB// CD$，则$\angle1$，$\angle2$，$\angle3$之间应满足怎样的数量关系？试说明理由。

答案：
(1)AB//CD；
(2)$\angle2=\angle1+\angle3$
解析：
(1)$AB// CD$。过$E$作$EF// AB$，$\angle B=\angle BEF$。$\because\angle B+\angle D=\angle BED$，$\angle D=\angle BED-\angle B=\angle DEF$，$\therefore EF// CD$，$\therefore AB// CD$。
(2)$\angle2=\angle1+\angle3$。过$E$作$EF// AB$，则$\angle1=\angle BEF$，若$AB// CD$，则$EF// CD$，$\angle3=\angle DEF$，$\angle2=\angle BEF+\angle DEF=\angle1+\angle3$。