《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

9. 如图,AC与BD相交于点P,若△ABC≌△DCB,求证:△ABP≌△DCP.
第9题图

答案： 证明：
∵△ABC≌△DCB，
∴AB=DC，∠A=∠D，∠ACB=∠DBC，
∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB，即∠ABP=∠DCP。在△ABP和△DCP中，∠A=∠D，AB=DC，∠ABP=∠DCP，
∴△ABP≌△DCP（ASA）。

10. 如图,正方形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,若CE⊥BF于点M,求证:AF=BE.
第10题图

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°。
∵CE⊥BF，
∴∠BMC=90°，
∴∠BCE+∠MBC=90°。又∠ABF+∠MBC=90°，
∴∠BCE=∠ABF。在△ABF和△BCE中，∠A=∠EBC，AB=BC，∠ABF=∠BCE，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE。

11. 如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请添加一个适当的条件:_________,使△ABD≌△CBE.

答案： AB=CB（或AD=CE或BD=BE等）
解析：已知∠ADB=∠CEB=90°，∠B=∠B，添加AB=CB，可由AAS判定△ABD≌△CBE；添加AD=CE，可由AAS判定；添加BD=BE，可由ASA判定。

12. 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.点P从点A出发沿A→C路径向终点C运动;点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q分别以每秒1cm和每秒3cm的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也立即停止运动,在某时刻,分别过点P和点Q作PE⊥l于点E,QF⊥l于点F.当运动时间为______秒时,△PEC与△QFC全等.
第12题图

答案： 1或3.5
解析：设运动时间为t秒。
①当Q在BC上（0≤t≤8/3）时，CQ=8-3t，PC=6-t，△PEC≌△QFC，则PC=CQ，即6-t=8-3t，解得t=1；
②当Q在AC上（8/3＜t≤14/3）时，CQ=3t-8，PC=6-t，△PEC≌△QFC，则PC=CQ，即6-t=3t-8，解得t=3.5。
综上，t=1或3.5。

13. 已知:如图,∠1,∠2和线段a.
求作:△ABC,使AB=a,∠CAB=2∠1,∠ABC=∠2.
第13题图

答案： 作法：1. 作∠MAN=2∠1；2. 在射线AM上截取AB=a；3. 以点B为顶点，AB为一边作∠ABP=∠2，BP交AN于点C。△ABC即为所求。

14. 如图,已知AC=AE,∠C=∠E,∠1=∠2.求证:
（1）AB=AD；
（2）EM=CN.
第14题图

答案： （1）证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠BAC=∠DAE。又AC=AE，∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AB=AD；
（2）证明：由（1）知△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，AB=AD。又∠BAM=∠DAN（∠1=∠2），
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM=AN。
∵AC=AE，
∴AC-AN=AE-AM，即CN=EM，
∴EM=CN。