《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

B组 能力提升
一、填空题
10. 已知$3^m = 4$，$3^{2m - 4n} = 4$，若$9^n = x$，则$x$的值为______。
11. 在数$1.001×10^{-9}$，$9.99×10^{-8}$，$1.002×10^{-8}$，$9.999×10^{-7}$中，最大的数为______，最小的数为______。

答案： 10. 2
$3^{2m - 4n} = (3^m)^2÷(3^{2n})^2 = 4^2÷x^2 = 4$，则$16÷x^2 = 4$，$x^2 = 4$，$x = 2$（$x ＞ 0$）
11. $9.999×10^{-7}$；$1.001×10^{-9}$
比较科学记数法中$10$的指数，指数越大数越大，故最大为$9.999×10^{-7}$，最小为$1.001×10^{-9}$

二、解答题
12. (1)已知$5^{3x + 1}÷5^{x - 1} = 25^{2x - 3}$，求$x$的值；
(2)已知$10^a = 2$，$10^b = 9$，求$100^{a - \frac{1}{2}b}$的值。

答案：
(1)4
$5^{3x + 1}÷5^{x - 1} = 5^{2x + 2}$，$25^{2x - 3} = 5^{4x - 6}$，则$2x + 2 = 4x - 6$，解得$x = 4$
(2)$\frac{4}{9}$
$100^{a - \frac{1}{2}b} = (10^2)^{a - \frac{1}{2}b} = 10^{2a - b} = (10^a)^2÷10^b = 2^2÷9 = \frac{4}{9}$

13. 观察下列式子：
$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3}×\frac{2}{3}$；
$(\frac{2}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{1}{\frac{2}{3}}×\frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}×\frac{3}{2}$。
(1)比较大小：$(\frac{2}{3})^2$______$(\frac{3}{2})^{-2}$；（填“＞”“＜”或“=”）
(2)仿照例子，请你通过计算，判断$(\frac{5}{4})^3$与$(\frac{4}{5})^{-3}$之间的大小关系；
(3)我们可以发现：$(\frac{b}{a})^{-m}$______$(\frac{a}{b})^m$（$ab ≠ 0$）；（填“＞”“＜”或“=”）
(4)计算：$(\frac{3}{8})^{-4}×(\frac{3}{4})^4$。

答案：
(1)=
$(\frac{3}{2})^{-2} = (\frac{2}{3})^2$，故$(\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2}$
(2)相等
$(\frac{4}{5})^{-3} = \frac{1}{(\frac{4}{5})^3} = (\frac{5}{4})^3$，故$(\frac{5}{4})^3 = (\frac{4}{5})^{-3}$
(3)=
由
(1)
(2)可得$(\frac{b}{a})^{-m} = (\frac{a}{b})^m$
(4)16
$(\frac{3}{8})^{-4}×(\frac{3}{4})^4 = (\frac{8}{3})^4×(\frac{3}{4})^4 = (\frac{8}{3}×\frac{3}{4})^4 = 2^4 = 16$