《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

B组 能力提升
一、填空题
10. 计算：(1 - 1/2²)(1 - 1/3²)(1 - 1/4²)…(1 - 1/49²)(1 - 1/50²) = _______；

答案： 51/100
解析：原式=(1 - 1/2)(1 + 1/2)(1 - 1/3)(1 + 1/3)…(1 - 1/50)(1 + 1/50) = 1/2×3/2×2/3×4/3×…×49/50×51/50 = 1/2×51/50 = 51/100。

11. （1）计算：(a² - b²) ÷ (b - a)² = _______；

答案： (a + b)/(a - b)
解析：原式=(a - b)(a + b)/(a - b)² = (a + b)/(a - b)。

（2）若3x² + kx + 4除以3x - 1后余2，则k的值为_______；

答案： -7
解析：设商式为x + m，(3x - 1)(x + m) + 2 = 3x² + (3m - 1)x - m + 2，得 -m + 2 = 4→m=-2，k=3×(-2) - 1 = -7。

（3）已知(x - 2024)² + (x - 2026)² = 18，则(x - 2025)²的值是_______；

答案： 8
解析：设t=x - 2025，原式=(t + 1)² + (t - 1)² = 2t² + 2 = 18→t²=8。

二、解答题
12. 已知(x - y)²=9，x² + y²=5，求[x(x²y² - xy) - y(x² - x³y)] ÷ x²y的值。

答案： -6
解析：原式=[x³y² - x²y - x²y + x³y²] ÷ x²y = (2x³y² - 2x²y) ÷ x²y = 2xy - 2。由(x - y)²=9得x² - 2xy + y²=9，x² + y²=5→5 - 2xy=9→xy=-2，原式=2×(-2) - 2 = -6。

13. 若x + y=3，且(x + 2)(y + 2)=12。
（1）求x² + 3xy + y²的值；

答案： 11
解析：(x + 2)(y + 2)=xy + 2(x + y) + 4=12→xy=12 - 6 - 4=2。x² + 3xy + y²=(x + y)² + xy=9 + 2=11。

（2）求x⁴ + y⁴的值；

答案： 17
解析：x² + y²=(x + y)² - 2xy=9 - 4=5，x⁴ + y⁴=(x² + y²)² - 2x²y²=25 - 8=17。

（3）求x⁴ - y⁴的值。

答案： ±15
解析：x - y=±√[(x + y)² - 4xy]=±1，x⁴ - y⁴=(x² - y²)(x² + y²)=(x - y)(x + y)(x² + y²)=±1×3×5=±15。