《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

9. 已知$5^x = 2$，$5^y = 3$，求下列代数式的值：
(1) $5^{2x} + 5^{3y}$；
(2) $5^{2x + 3y}$。

答案：
(1) 31；
(2) 108
解析：
(1) $5^{2x} + 5^{3y} = (5^x)^2 + (5^y)^3 = 2^2 + 3^3 = 4 + 27 = 31$；
(2) $5^{2x + 3y} = 5^{2x} \cdot 5^{3y} = 4 × 27 = 108$。

B 组 能力提升
一、填空题
10. (1) 若$128^4 × 8^3 = 2^n$，则$n = \underline{\quad\quad}$；
(2) 若$a^{3n} = 8$，则$a^n$的值为$\underline{\quad\quad}$。

答案：
(1) 37；
(2) 2
解析：
(1) $128^4 × 8^3 = (2^7)^4 × (2^3)^3 = 2^{28} × 2^9 = 2^{37}$，$n = 37$；
(2) $a^{3n} = (a^n)^3 = 8$，则$a^n = 2$。

11. (1)已知$2x + 5y - 3 = 0$，则$4^x \cdot 32^y = \underline{\quad\quad}$；
(2) $3^{108}$与$2^{144}$的大小关系是$\underline{\quad\quad}$。

答案：
(1) 8；
(2) $3^{108} ＞ 2^{144}$
解析：
(1) $4^x \cdot 32^y = 2^{2x} \cdot 2^{5y} = 2^{2x + 5y}$，$2x + 5y = 3$，则$2^3 = 8$；
(2) $3^{108} = (3^3)^{36} = 27^{36}$，$2^{144} = (2^4)^{36} = 16^{36}$，$27^{36} ＞ 16^{36}$，故$3^{108} ＞ 2^{144}$。

二、解答题
12. 已知$a^{3m} = 3$，$b^{3n} = 2$，求$(a^{2m})^3 + (b^n)^3 - a^{2m} \cdot b^n \cdot a^{4m} \cdot b^{2n}$的值。

答案： -7
解析：原式$=(a^{3m})^2 + b^{3n} - a^{6m} \cdot b^{3n} = 3^2 + 2 - (3^2) × 2 = 9 + 2 - 18 = -7$。

13. (1) 已知$a = 2^{13}$，$b = 4^6$，$c = 32^3$，试比较$a$，$b$，$c$的大小；
(2) 已知$a = 3^{55}$，$b = 4^{44}$，$c = 5^{33}$，试比较$a$，$b$，$c$的大小。

答案：
(1) $b ＜ a ＜ c$；
(2) $c ＜ a ＜ b$
解析：
(1) $b = 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$，$c = 32^3 = (2^5)^3 = 2^{15}$，$2^{12} ＜ 2^{13} ＜ 2^{15}$，则$b ＜ a ＜ c$；
(2) $a = 3^{55} = (3^5)^{11} = 243^{11}$，$b = 4^{44} = (4^4)^{11} = 256^{11}$，$c = 5^{33} = (5^3)^{11} = 125^{11}$，$125^{11} ＜ 243^{11} ＜ 256^{11}$，则$c ＜ a ＜ b$。