《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

【例 1】如图 4 - 5 - 1,已知△PMN 是等边三角形,∠APB = 120°,你能得出 AM·PB = PN·AP 吗？

解题关键 根据已知条件,证明两个三角形相似即可得证。

答案： 能。
∵△PMN 是等边三角形，
∴∠PMN=∠PNM=60°，又
∵∠PMA+∠PMN=∠PNB+∠PNM=180°,
∴∠PMA=∠PNB=120°,
∴∠A+∠1=60°,∠1+∠2=120°-60°=60°,
∴∠1+∠A=∠1+∠2,
∴∠A=∠2,
∴△APM∽△PBN,
∴$\frac{AM}{PN}=\frac{AP}{PB}$,即 AM·PB=PN·AP。

【例 2】如图 4 - 5 - 2,已知正方形 ABCD 的边长 AD = 4,PC = 1,CQ = DQ = 2。
求证：△ADQ∽△QCP。

解题关键 根据正方形的性质,结合已知条件,运用“两边成比例且夹角相等”来证明两个三角形相似。

答案： 证明:
∵$\frac{PC}{DQ}=\frac{1}{2}$,$\frac{CQ}{AD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{PC}{DQ}=\frac{CQ}{AD}$,又
∵∠D=∠C=90°,
∴△ADQ∽△QCP。