《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

6. 如图 4 - 5 - 9,在△ABC 中,AB = AC,AD 为 BC 边上的中线,DE⊥AB,垂足为 E。
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若 AB = 13,BC = 10,求线段 DE 的长。

答案：
(1)略
(2)$DE=\frac{60}{13}$

7. 如图 4 - 5 - 10,BC//DE,且 BC ＜ DE,AD = BC = 4,AB + DE = 10,则$\frac{AE}{AC}$的值为 2。

答案： 2

8. 当 x = 6时,边长分别为 3,4,6 的三角形和边长为 8,12,x 的三角形相似。

答案： 6

9. 如图 4 - 5 - 11,在正方形 ABCD 中,M 为 BC 上一点,ME⊥AM,ME 交 AD 的延长线于点 E。
(1)求证：△ABM∽△EMA；
(2)若 AB = 4,BM = 2,求 DE 的长。

答案：
(1)证明:
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD//BC,∠B=∠C=90°。
∴∠EAM=∠AMB,且∠B=∠AME=90°,
∴△ABM∽△EMA。
(2)解:
∵AB=4,BM=2,∠B=90°,
∴$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=2\sqrt{5}$。
∵△ABM∽△EMA,
∴$\frac{BM}{AM}=\frac{AM}{AE}$,即$\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{AE}$,
∴AE=10,
∴DE=AE-AD=10-4=6。

10. (动点问题)如图 4 - 5 - 12,在△ABC 中,AB = 4 cm,BC = 8 cm,动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运动,速度为 1 cm/s；动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运动,速度为 2 cm/s。如果 P,Q 两动点同时运动,那么经过几秒△QBP 与△ABC 相似？

答案： 解:设经过 t s 时,△QBP 与△ABC 相似，则 AP = t cm,BP=(4-t)cm,BQ=2t cm。
∵∠PBQ=∠ABC,
∴当$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$时,△BPQ∽△BAC,即$\frac{4-t}{4}=\frac{2t}{8}$,解得 t=2;当$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$时,△BPQ∽△BCA,即$\frac{4-t}{8}=\frac{2t}{4}$,解得 t=0.8。即经过 2 s 或 0.8 s 时,△QBC 与△ABC相似。