《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

【例 1】已知$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}= 4$,且$b - 3d + 4f\neq0$,求$\frac{a - 3c + 4e}{b - 3d + 4f}$的值。
解题关键 先运用分式的基本性质,表示出$a与b$,$c与d$,$e与f$三组量之间的倍数关系,再利用等比的性质解决。

答案： 解:
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=4$,
∴$\frac{-3c}{-3d}=\frac{c}{d}=4$,$\frac{4e}{4f}=\frac{e}{f}=4$,
∴$\frac{a-3c+4e}{b-3d+4f}=\frac{a}{b}=4$。

【例 2】若$\frac{a - b}{b}= \frac{4}{7}$,则$\frac{a}{b}=$$\frac{11}{7}$；
若$\frac{a}{b}= \frac{3}{5}$,则$\frac{a + b}{b}=$$\frac{8}{5}$。
解题关键 根据合比的性质作答。

答案： $\frac{11}{7}$ $\frac{8}{5}$

【例 3】已知线段$a$,$b$,$c满足\frac{a}{3}= \frac{b}{2}= \frac{c}{6}$,且$a + 2b + c = 26$。
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)若$\frac{a}{x}= \frac{x}{b}$,求$x$的值。
解题关键 用设参数法求解。

答案： 解:
(1)设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=k$,
则$a=3k$,$b=2k$,$c=6k$,
∴$3k+2×2k+6k=26$,解得$k=2$。
∴$a=3×2=6$,$b=2×2=4$,$c=6×2=12$。
(2)
∵$\frac{a}{x}=\frac{x}{b}$,
∴$x^{2}=ab=6×4=24$,
∴$x=±2\sqrt{6}$。