《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

10. 若 $a$,$b$,$c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长,且方程 $(a - x)^{2}-4(b - x)(c - x)= 0$ 总有两个相等的实数根,则 $\triangle ABC$ 的形状是(A)
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： A

11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2)^{2}x^{2}+(2m + 1)x + 1 = 0$,当 $m$ 满足$m＞\frac{3}{4}$且$m\neq2$时,方程总有两个不相等的实数根。

答案： $m＞\frac{3}{4}$且$m\neq2$

12. 已知关于 $x$ 的方程 $mx^{2}-(m + 3)x + 3 = 0$($m\neq0$)。求证：不论 $m$ 为何值,方程总有实数根。

答案： 证明:
∵$m\neq0$,
∴方程$mx^{2}-(m+3)x+3=0(m\neq0)$是关于x的一元二次方程,
∴$\Delta=(m+3)^{2}-4\cdot m\cdot3$
$=m^{2}-6m+9=(m-3)^{2}$,
∵$(m-3)^{2}\geq0$,即$\Delta\geq0$,
∴方程总有实数根。

13. 已知 $x_{1}$,$x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0$ 的两实数根。
(1) 若 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 28$,求 $m$ 的值；
(2) 已知等腰三角形 $ABC$ 的一边长为 $7$,若 $x_{1}$,$x_{2}$ 恰好是 $\triangle ABC$ 另外两边的长,求这个三角形的周长。

答案： 解:根据题意,得$\Delta=[-2(m+1)]^{2}-4(m^{2}+5)\geq0$,解得$m\geq2$。
(1)根据根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=2(m+1),x_{1}x_{2}=m^{2}+5$。
∵$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=28$,即$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=28$,
∴$m^{2}+5-2(m+1)+1=28$,解得$m_{1}=6,m_{2}=-4$。
∵$m\geq2$,
∴m的值为6。
(2)①当7为底时,原方程的两根为腰,所以两根相等,则$\Delta=0$,即$[-2(m+1)]^{2}-4(m^{2}+5)=0$,解得$m=2$。
把$m=2$代入方程,得$x^{2}-6x+9=0$,解得$x_{1}=x_{2}=3$。
因为$3+3＜7$,所以不能构成三角形。
②当7为腰时,则方程其中一根为$x=7$,把$x=7$代入原方程,得$m^{2}-14m+40=0$,解得$m_{1}=10,m_{2}=4$。
(ⅰ)当$m=10$时,由$x_{1}+x_{2}=2(m+1)$,解得原方程的另一个根为$x=15$。
因为$7+7＜15$,所以不能构成三角形。
(ⅱ)当$m=4$时,由$x_{1}+x_{2}=2(m+1)$,解得原方程的另一个根为$x=3$。
因为$7+3＞7$,所以能构成三角形。
故周长为$C=7+7+3=17$。
综上可知,这个三角形的周长为17。