《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

1. 已知$x_{1},x_{2}是方程x^{2}+2x-1 = 0$的两实数根,那么下列结论正确的是 (B)
A.$x_{1}+x_{2}= -1$
B.$x_{1}+x_{2}= -2$
C.$x_{1}+x_{2}= 1$
D.$x_{1}+x_{2}= 2$

答案： B

2. 已知一元二次方程$x^{2}= -4x+3的两根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}\cdot x_{2}$的值为 (D)
A.$4$
B.$-4$
C.$3$
D.$-3$

答案： D

3. 已知$x_{1},x_{2}是方程5x^{2}-2 = x+3$的两根,则$x_{1}-x_{1}x_{2}+x_{2}$的值是 (A)
A.$\frac{6}{5}$
B.$-\frac{6}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$-\frac{4}{5}$

答案： A

4. 已知一个直角三角形的两条直角边长是方程$2x^{2}-8x+7 = 0$的两个根,则这个直角三角形的斜边长是3。

答案： 3

5. 若关于$x的方程x^{2}-2x+c = 0有一根为-1$,求方程的另一根及$c$的值。

答案： $x_{2}=3,c=-3$

6. 已知$m$,$n是方程x^{2}+2x-5 = 0$的两个实数根,则$m^{2}-mn+3m+n$的值是 (A)
A.$8$
B.$-8$
C.$2$
D.$-2$

答案： A

7. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-4mx+3m^{2}= 0(m\gt0)的一个根比另一个根大2$,则$m$的值为1。

答案： 1

8. 在解方程$x^{2}+px+q = 0$时,甲同学看错了$p$,解得方程的根为$1和-3$；乙同学看错了$q$,解得方程的根为$4和-2$,则方程中的$p=$-2,$q=$-3。

答案： -2 -3

9. 设$x_{1},x_{2}是方程3x^{2}+10 = 2x^{2}+8x$的两个实数根,求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值。

答案： $\frac {4}{5}$

10. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2(a - 1)x+a^{2}-a - 2 = 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$。
(1)若$a$为正整数,求$a$的值；
(2)若$x_{1},x_{2}满足x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 16$,求$a$的值。

答案： 解:
(1)
∵ 原方程有两个不相等的实数根,
∴$\Delta =[-2(a-1)]^{2}-4(a^{2}-a-2)＞0$,即$a^{2}-2a+1-a^{2}+a+2＞0$,
∴$-a+3＞0,a＜3$。
∵a为正整数,
∴$a=1$或2。
(2)
∵$x_{1}+x_{2}=2(a-1),x_{1}\cdot x_{2}=a^{2}-a-2$,又$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=16$,则$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=16$,
∴$[2(a-1)]^{2}-3(a^{2}-a-2)=16$,$4a^{2}-8a+4-3a^{2}+3a+6=16,a^{2}-5a-6=0,a_{1}=-1,a_{2}=6$。
∵$a＜3$,
∴$a=-1$。