《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

8. 已知 $a,b,c$ 分别是三角形的三边长,则方程 $(a + b)x^{2}+2cx + a + b = 0$ 的根的情况是没有实数根。

答案： 没有实数根

9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^{2}-(m + 2)x + 2 = 0$。
(1) 证明：无论 $m$ 取何值,方程总有实数根；
(2) 当 $m$ 取何整数时,方程有两个不相等的正整数根？

答案：
(1)证明:Δ=b²-4ac=(m+2)²-8m=m²-4m+4=(m-2)²,
∵不论m为何值时,(m-2)²≥0,
∴Δ≥0,
∴方程总有实数根。
(2)解:解方程得x=(m+2±√((m-2)²))/(2m)=(m+2±(m-2))/(2m),即x₁=2/m,x₂=1。
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m=1或2(不合题意,舍去),
∴m=1。

10. (转化思想)阅读下面的解题过程：
若 $x^{2}+3xy - 2y^{2}= 0$,求 $\frac{x}{y}$ 的值。
解：原方程两边同时除以 $y^{2}$,得
$(\frac{x}{y})^{2}+3(\frac{x}{y})-2 = 0$。
设 $\frac{x}{y}= t$,则上面方程即为 $t^{2}+3t - 2 = 0$,
解得 $t= \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$,所以 $\frac{x}{y}= \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$。
故答案是 $\frac{x}{y}= \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$。
请参照上面的解题过程完成下面的练习题：
若 $x^{2}-2xy - 3y^{2}= 0$,求 $\frac{x}{y}$ 的值。

答案： 解:原方程两边同时除以y²,得(x/y)²-2(x/y)-3=0。设x/y=t,则上面方程即为t²-2t-3=0,解得t=3或t=-1,所以x/y=3或-1。