《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

【例 3】有一块长为 $ 20 $ m、宽为 $ 15 $ m 的矩形草地,四周环绕着宽度相同的小路,已知小路的面积是 $ 246 $ $ m^{2} $,设小路的宽度是 $ x $ m,则所列方程是 (15+2x)(20+2x)=246+20×15。
解题关键 根据“总面积 = 小路面积 + 矩形面积”的等量关系列方程。

答案： (15+2x)(20+2x)=246+20×15

1. 下列方程中是一元二次方程的是(D)
A.$ \frac{3}{x - 1}= 4 $
B.$ ax^{2}-16x + 7 = 0 $
C.$ 8x^{2}-y = 0 $
D.$ 7x^{2}+3x= -7x^{2}-9 $

答案： D

2. 将一元二次方程 $ 9x^{2}-2x = 4 $ 化成一般形式后,其一次项系数与常数项的和为(A)
A.- 6
B.1
C.3
D.9

答案： A

3. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 3x^{2}+x - 2 = ax(x - 2) $ 化成一般形式后,其二次项系数为 1,常数项为 - 2,则 $ a $ 的值为(C)
A.- 2
B.3
C.2
D.- 3

答案： C

4. 将一元二次方程 $ -7x^{2}-2= -4x $ 化成一般形式且二次项系数大于 0,则二次项和常数项分别是 7x²、2。

答案： 7x²,2

5. 把方程 $ 7x(3x - 5)= 6x^{2}+4 $ 化为一元二次方程的一般形式。

答案： 15x²-35x-4=0

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+9x+\vert m\vert - 1 = 0 $ 的常数项为 0,则 $ m = $ -1。

答案： -1

7. 已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少 4,这个两位数十位上的数字和个位交换位置后,新两位数与原两位数的积为 1612,那么原来的两位数是多少？若设原两位数个位上的数字是 $ x $,则所列方程是 [10(x+4)+x][10x+(x+4)]=1612。

答案： [10(x+4)+x][10x+(x+4)]=1612

8. 若关于 $ x $ 的方程 $ (m + 2)x^{m^{2}-2}+(m - 6)x + 5 = 0 $ 是一元二次方程,试求代数式 $ \frac{5m + 6}{m - 4} $ 的值。

答案： m=2,$\frac{5m+6}{m-4}$=-8