《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

8. 如图4-4-4-6,已知点E是正方形ABCD的对角线BD的黄金分割点$(BE ＞ DE)$,AE,BC的延长线交于F。若$AB = 2$,求CF的长。

答案： 解:$\because$E是正方形ABCD的对角线BD的黄金分割点($BE＞DE$),$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。$\because$四边形ABCD是正方形,$\therefore AD// BC$,$AD=BC=AB=2$,$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle FBE$,$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{DE}{BE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,即$\frac{2}{2+CF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,解得$CF=\sqrt{5}-1$。

9. (新定义题)某学习小组由黄金分割点联想到“黄金分割线”,并给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为$S_{1}$,$S_{2}$,如果$\frac{S_{1}}{S}= \frac{S_{2}}{S_{1}}$,那么称直线l为该图形的黄金分割线。如图4-4-4-7,在$\triangle ABC$中,点D是AB的黄金分割点。研究小组猜想：直线CD是$\triangle ABC$的黄金分割线,你认为对吗？为什么？

答案： 解:对。理由:$\because$点D是AB的黄金分割点,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$,$\because \frac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD}{AB}$,$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{BD}{AD}$,$\therefore \frac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ADC}}$,$\therefore$直线CD是$\triangle ABC$的黄金分割线。