《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

5. 如图,将矩形纸片 $ABCD$ 折叠,使点 $D$ 与点 $B$ 重合,点 $C$ 落在点 $C'$ 处,折痕为 $EF$,若 $AB = 1$,$BC = 2$,则 $\triangle ABE$ 和 $\triangle BC'F$ 的周长之和为 (C)

A.$3$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案： C

6. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 8$,$BC = 16$,将矩形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠,使点 $C$ 与点 $A$ 重合,求折痕 $EF$ 的长。

答案： 解:设 BE=x,则 CE=BC-BE=16-x。
∵ 沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合,
∴ AE=CE=16-x。在 Rt△ABE 中,AB²+BE²=AE²,即 8²+x²=(16-x)²,解得 x=6,
∴ AE=16-6=10。由翻折的性质,得∠AEF=∠CEF。
∵ 矩形 ABCD 的对边 AD//BC,
∴ ∠AFE=∠CEF,
∴ ∠AEF=∠AFE,
∴ AE=AF=10。过点 E 作 EH⊥AD,垂足为 H,则四边形 ABEH 是矩形,
∴ EH=AB=8,AH=BE=6,
∴ FH=AF-AH=10-6=4。在 Rt△EFH 中,EF=$\sqrt{EH^2+FH^2}$=$\sqrt{8^2+4^2}$=4$\sqrt{5}$。

7. 如图,已知正方形 $ABCD$ 的对角线长为 $2\sqrt{2}$,将正方形 $ABCD$ 沿直线 $EF$ 折叠,则图中阴影部分的周长为 (C)

A.$8\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$8$
D.$6$

答案： C

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AB$ 的中点,沿 $EC$ 对折矩形 $ABCD$,使点 $B$ 落在点 $P$ 处,折痕为 $EC$,连接 $AP$ 并延长交 $CD$ 于点 $F$,连接 $BP$。
(1)求证：四边形 $AECF$ 为平行四边形；
(2)若 $\triangle AEP$ 是等边三角形,求证：$\triangle APB \cong \triangle EPC$。

答案： 证明:
(1)在矩形 ABCD 中,AB//DC。
∵ E 为 AB 的中点,
∴ AE=BE。又由翻折可知 EC⊥BP,EP=EB=AE,
∴ ∠EAP=∠EPA,∠EPB=∠EBP。在△ABP 中,∠EAP+∠EPA+∠EPB+∠EBP=180°,
∴ ∠EPA+∠EPB=∠APB=90°,
∴ EC//AF,
∴ 四边形 AECF 为平行四边形。
(2)
∵ △AEP 是等边三角形,
∴ AP=EP=AE,∠PAB=∠AEP=∠APE=60°,
∴ ∠PEC=∠BEC=60°,
∴ ∠PAB=∠PEC=60°。由
(1)可知∠APB=∠EPC=90°,
∴ △APB≌△EPC。