《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

7. 如图1-2-1-9,在矩形ABCD中,AB = 2,AD = 4,AC的垂直平分线EF交AD于点E,交BC于点F,则EF的长为(B)

A.4
B.$\sqrt{5}$
C.2$\sqrt{5}$

D.2$\sqrt{3}$

答案： B

8. (2023陕西中考)如图1-2-1-10,在矩形ABCD中,AB = 3,BC = 4,点E在边AD上,且ED = 3,M,N分别是边AB,BC上的动点,且BM = BN,P是线段CE上的动点,连接PM,PN,若PM + PN = 4,则线段PC的长为$2\sqrt{2}$。

答案： $2\sqrt{2}$

9. 如图1-2-1-11,在矩形ABCD中,点P为AD边上的一个动点,O为对角线BD的中点,PO的延长线交BC于点E。
(1)求证：OP = OE；
(2)若AD = 8 cm,AB = 6 cm,点P从点A出发,以2 cm/min的速度向D点运动(不与D点重合)。设点P的运动时间为t min,当t为何值时,四边形PBED是菱形？

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD//BC,
∴ ∠PDO=∠EBO。
∵ O 为 BD 的中点,
∴ DO=BO。在△PDO 和△EBO 中,$\begin{cases} ∠PDO=∠EBO, \\ DO=BO, \\ ∠POD=∠EOB, \end{cases}$
∴ △PDO≌△EBO(ASA),
∴ OP=OE。
(2)解:由题意知 AD=8 cm,AP=2t cm,
∴ PD=(8-2t)cm。由题意 PB=PD,
∴ PB²=PD²,即 AB²+AP²=PB²=PD²,
∴ 6²+4t²=(8-2t)²,解得 t=$\frac{7}{8}$。
∴ 当 t=$\frac{7}{8}$时,四边形 PBED 是菱形。

10. (新定义题)如图1-2-1-12①,将纸片△ABC沿中位线EH折叠,使点A的对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰三角形BED和等腰三角形DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼成一个矩形。类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形,这样的矩形称为“叠合矩形”。
(1)将□ABCD纸片按图1-2-1-12②的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段AE,GF；$S_{矩形AEFG} : S_{□ABCD} =$1:2。
(2)□ABCD纸片还可以按图1-2-1-12③的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF = 5,EH = 12,求AD的长。
∵ 四边形 EFGH 是矩形,
∴ ∠HEF=90°,
∴ FH=$\sqrt{5^2+12^2}$=13。由折叠的对称性可知 DH=NH,AH=HM,CF=FN,易得△AEH≌△CGF,所以 CF=AH,所以 AD=DH+AH=HN+FN=FH=13。

答案： 解:
(1)AE GF 1:2 解析:根据题意得操作形成的折痕分别是线段 AE,GF;由折叠的性质得△ABE≌△AHE,四边形AHFG≌四边形 DCFG,
∴ S$_{\triangle ABE}$=S$_{\triangle AHE}$,S$_{四边形 AHFG}$=S$_{四边形 DCFG}$,
∴ S$_{矩形 AEFG}$=$\frac{1}{2}$S$_{□ ABCD}$,
∴ S$_{矩形 AEFG}$:S$_{□ ABCD}$=1:2。
(2)
∵ 四边形 EFGH 是矩形,
∴ ∠HEF=90°,
∴ FH=$\sqrt{5^2+12^2}$=13。由折叠的对称性可知 DH=NH,AH=HM,CF=FN,易得△AEH≌△CGF,所以 CF=AH,所以 AD=DH+AH=HN+FN=FH=13。