《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

9. 如图 1-1-1-9,已知四边形 $ABCD$ 是菱形,延长 $AD$ 至点 $E$,使 $AE = 2AB$。
(1) 求证：$\angle ACE = 90^{\circ}$；
(2) 若 $AC = 16$,$BC = 10$,求四边形 $ABCE$ 的面积。

答案：
(1)证明略。
(2)解:连接BD交AC于O,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,OC=1/2AC=8。
在Rt△BOC中,
OB=√(BC² - OC²)=√(10² - 8²)=6,
∴BD=2OB=12,
∴四边形ABCE的面积=S菱形ABCD+S△DCE=
S菱形ABCD+1/2S菱形ABCD=3/2×1/2×16×12=144。

10. (新定义题) 如图 1-1-1-10①,点 $P$ 为四边形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 所在直线上的一点,若 $PD = PB$,$PA \neq PC$,则点 $P$ 为四边形 $ABCD$ 的“准等距点”。
如图 1-1-1-10②,在四边形 $ABCD$ 中,$P$ 是 $AC$ 上的点,$PA \neq PC$,延长 $BP$ 交 $CD$ 于点 $E$,延长 $DP$ 交 $BC$ 于点 $F$,且 $\angle CDF = \angle CBE$,$CE = CF$。求证：点 $P$ 是四边形 $ABCD$ 的准等距点。

答案： 证明:如图,连接DB。
在△DCF与△BCE中,
{∠DCF=∠BCE,
∠CDF=∠CBE,
CF=CE,
∴ △DCF≌△BCE(AAS),
∴ CD=CB,
∴ ∠CDB=∠CBD。
∴ ∠PDB=∠PBD,
∴ PD=PB,
又
∵ PA≠PC,
∴ 点P是四边形ABCD的准等距点。