《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

8. 如图1-1-2-10,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE= AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件能使四边形DBCE成为菱形的是(B)

A.AB= BE
B.AB⊥BE
C.∠ADB= 90°
D.CE⊥DE

答案： B

9. 如图1-1-2-11,AD是△ABC的角平分线,线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E,F,连接DE,DF。
(1) 试判定四边形AEDF的形状,并证明你的结论；
(2) 若AE= 5,AD= 8,求四边形AEDF的面积。

答案： 解:
(1)四边形 AEDF 是菱形。理由如下:
∵ AD 平分$∠BAC$,
∴$∠EAO=∠FAO$。
∵ EF⊥AD,
∴$∠AOE=∠AOF=90^{\circ }$。又
∵ AO=AO,
∴$\triangle AEO\cong \triangle AFO(ASA)$,
∴ EO=FO。
∵ EF 垂直平分 AD,
∴ AO=DO,
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形,又
∵ EF⊥AD,
∴ 四边形 AEDF 是菱形。
(2)
∵ EF 垂直平分 AD,AD=8,
∴$∠AOE=90^{\circ }$,OA=4。在$Rt\triangle AOE$中,$OE=\sqrt{AE^{2}-AO^{2}}=3$,
∴ EF=2OE=6,
∴$S_{菱形}=6×8÷2=24$。

10. 如图1-1-2-12,在△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC,垂足为E,F是AD的中点,FG⊥BC,垂足为G,与DE交于点H。若FG= AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD。
(1) 求证：△ECG≌△GHD；
(2) 若∠B= 30°,判断四边形AECF是否为菱形,并说明理由。
(注：过三角形一边的中点作另一边的平行线,与三角形第三边的交点必为中点)

答案：
(1)证明:
∵ AF=FG,
∴$∠FAG=∠FGA$。
∵ AG 平分$∠CAB$,
∴$∠CAG=∠FAG$。
∴$∠CAG=∠FGA$,
∴ AC//FG。
∵ DE⊥AC,
∴ FG⊥DE,
∵ FG⊥BC,
∴ DE//BC,
∴ AC⊥BC,
∴$∠C=∠DHG=90^{\circ }$,$∠CGE=∠GED$。
∵ F 是 AD 的中点,FG//AE,
∴ H 是 ED 的中点,
∴ FG 是线段 ED 的垂直平分线,
∴ GE=GD,$∠GDE=∠GED$。
∴$∠CGE=∠GDE$,
∴$\triangle ECG\cong \triangle GHD$。
(2)解:四边形 AEGF 是菱形。理由:
∵$∠B=30^{\circ }$,DE//BC,
∴$∠ADE=30^{\circ }$,
∴$AE=\frac{1}{2}AD$,
∵ F 为 AD 的中点,
∴ AE=AF=FG,由
(1)得 AE//FG,
∴ 四边形 AEGF 是平行四边形,
∴ 四边形 AEGF 是菱形。