《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

7. 如图1 - 2 - 2 - 7,在▱ABCD中,M,N是BD上两点,BM = DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (A)

A.OM = $\frac{1}{2}$AC
B.MB = MO
C.BD ⊥ AC
D.∠AMB = ∠CND

答案： A

8. 如图1 - 2 - 2 - 8,在△ABC中,AB = 3,AC = 4,BC = 5,P为边BC上一动点,PE ⊥ AB,垂足为E,PF ⊥ AC,垂足为F,则EF的最小值为$\frac{12}{5}$。

答案： $\frac{12}{5}$

9. 如图1 - 2 - 2 - 9,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF // BC,分别交∠ACB,∠ACD的平分线于点E,F。
(1) 若CE = 8,CF = 6,求OC的长；
(2) 连接AE,AF,问：当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由。

答案： 解:
(1)
∵EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF。又
∵EF//BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,
∴OE=OC,OF=OC,
∴OE=OF。
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,
∴∠ECF=90°,
∴EF=$\sqrt{CE^2+CF^2}$=10,
∴OC=$\frac{1}{2}$EF=5。
(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。理由:连接AE,AF,当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形。又
∵∠ECF=90°,
∴四边形AECF是矩形。

10. (规律探究) 如图1 - 2 - 2 - 10①,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,中线BE,CD相交于点O,点F,G分别是OB,OC的中点。
(1) 求证：四边形DFGE是平行四边形；
(2) 在图1 - 2 - 2 - 10②中,试想：如果拖动点A,通过你的观察和探究,在什么条件下四边形DFGE是矩形？并给出证明。

答案：

(1)证明:
∵BE,CD是△ABC的中线，
∴D,E是两边的中点，
∴DE//BC且DE=$\frac{1}{2}$BC。又
∵点F,G分别是OB,OC的中点，
∴FG//BC且FG=$\frac{1}{2}$BC,
∴DE//FG且DE=FG。
∴四边形DFGE是平行四边形。
(2)解:当AB=AC时,四边形DFGE是矩形，作AH⊥BC,垂足为H,如图所示。
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴AH是BC边上的中线，又
∵BE,CD是中线，
∴AH必过点O。
∵DF为△ABO的中位线，
∴DF//AO,即DF//AH,又
∵FG为△BCO的中位线，
∴FG//BC,
∴AH⊥FG,
∵DF//AH,
∴DF⊥FG,
∴∠DFG=90°。又
∵四边形DFGE是平行四边形，
∴四边形DFGE是矩形。