《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

8. 如图1-3-2-8,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF为直角三角形,∠AEB = ∠CFD = 90°,AE = CF = 5,BE = DF = 12,则EF的长是7√2。

答案： 7√2

9. 如图1-3-2-9,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,过点C的直线MN//AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,垂足为F,交直线MN于点E,连接CD,BE。
(1)求证：CE = AD；
(2)当D在AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB的中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明你的理由。

答案：
(1)证明:
∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB,
∴AC//DE,
∵MN//AB,即CE//AD,
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD。
(2)解:四边形BECD是菱形。理由:
∵D为AB的中点，
∴AD=BD,
∵CE=AD,
∴BD=CE,
∵BD//CE,
∴四边形BECD是平行四边形。
∵∠ACB=90°,D是AB的中点，
∴CD=BD,
∴四边形BECD是菱形。
(3)解:当∠A=45°时,四边形BECD是正方形。理由:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,
∴AC=BC。
∵D为BA的中点，
∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形。

10. (分类讨论)如图1-3-2-10,四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG。
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB = 2,CE = $\sqrt{2}$,求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时,直接写出∠EFC的度数。

答案：
(1)证明:作EP⊥CD,垂足为P,EQ⊥BC,垂足为Q。
∵∠DCA=∠BCA,
∴EQ=EP。
∵∠QEF+∠FEC=45°,∠PED+∠FEC =45°,
∴∠QEF=∠PED,
∴Rt△EQF≌Rt△EPD,
∴EF=ED,
∴矩形DEFG是正方形。
(2)解:如图,在Rt△ABC中,AC=√2AB =2√2。
∵EC=√2,
∴AE=CE,
∴点F与C重合,此时△DCG是等腰直角三角形,易知CG=√2。
(3)∠EFC=120°或30°