《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

10. 如图,已知△ABC 与△ADE 均为等边三角形,点 D 在 BC 边上,DE 与 AC 交于点 F,图中相似的三角形有 (C)

A.3 对
B.4 对
C.5 对
D.6 对

答案： C

11. 如图,在△ABC 中,AB = AC,点 P,D 分别是 BC,AC 边上的点,且∠APD = ∠B。
(1) 求证：AC·CD = CP·BP；
(2) 若 AB = 10,BC = 12,当 PD//AB 时,求 BP 的长。

答案：
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C。
∵∠APD=∠B,
∴∠APD=∠B=∠C。
∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,
∴∠BAP=∠DPC,
∴△ABP∽△PCD。
∴$\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{CP}$,
∴AB·CD=CP·BP。
∵AB=AC,
∴AC·CD=CP·BP。
(2)解:
∵PD//AB,
∴∠APD=∠BAP。
∵∠APD=∠C,
∴∠BAP=∠C。
又
∵∠B=∠B,
∴△BAP∽△BCA,
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BP}{BA}$。
∵AB=10,BC=12,
∴$\frac{10}{12}=\frac{BP}{10}$,
∴BP=$\frac{25}{3}$。

12. 如图,在正方形 ABCD 中,E 为边 AD 的中点,点 F 在边 CD 上,且 CF = 3FD,∠BEF = 90°。
(1) 求证：△ABE∽△DEF；
(2) 若 AB = 4,延长 EF 交 BC 的延长线于点 G,求 BG 的长。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠ABE+∠AEB=90°。
又
∵∠BEF=90°,
∴∠AEB+∠DEF=90°,
∴∠ABE=∠DEF,
∴△ABE∽△DEF。
(2)解:
∵AB=BC=CD=AD=4,CF=3FD,
∴DF=1,CF=3。
∵△ABE∽△DEF,
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}$,即$\frac{4-DE}{1}=\frac{4}{DE}$,
∴DE=2。
又
∵ED//CG,
∴△EDF∽△GCF,
∴$\frac{ED}{CG}=\frac{DF}{CF}$,
∴CG=6,BG=BC+CG=10。