《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

8. 如图4-4-2-9,在矩形ABCD中,AB = 3,BC = 6,若点E,F分别在AB,CD上,且BE = 2AE,DF = 2FC,G,H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为(C)

A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.4

答案： C

9. 如图4-4-2-10,在正方形ABCD中,P是CD的中点,点Q在线段BC上,且BQ = 3QC,求证：△ADP ∽ △PCQ。

答案： 解:设正方形ABCD的边长为a,由题得AD=BC=CD=a,则$DP=PC=\frac{1}{2}a$,$QC=\frac{1}{4}a$。
∴$\frac{AD}{PC}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$,$\frac{DP}{QC}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{4}a}=2$,即$\frac{AD}{PC}=\frac{DP}{QC}$,又
∵∠D=∠C=90°,
∴△ADP∽△PCQ。

10. (方程思想)如图4-4-2-11,已知AB⊥BD,CD⊥BD。
(1)若AB = 9,CD = 4,BD = 10,则在BD上是否存在点P,使得以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似？若存在,求出BP的长；若不存在,请说明理由。
(2)若AB = 9,CD = 4,BD = 12,则在BD上存在多少个点P,使得以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似？若存在,求出BP的长；若不存在,请说明理由。

答案： 解:
(1)存在。设BP=x,则PD=10-x。
∵∠B=∠D,
∴当$\frac{AB}{PD}=\frac{PB}{CD}$时,△ABP∽△PDC,即$\frac{9}{10-x}=\frac{x}{4}$,整理得$x^{2}-10x+36=0$,方程无实根;当$\frac{AB}{CD}=\frac{PB}{PD}$时,△ABP∽△CDP,即$\frac{9}{4}=\frac{x}{10-x}$,解得$x=\frac{90}{13}$,即BP的长为$\frac{90}{13}$。
(2)存在两个P点。设BP=x,则PD=12-x。
∵∠B=∠D,
∴当$\frac{AB}{PD}=\frac{PB}{CD}$,△ABP∽△CDP,即$\frac{9}{12-x}=\frac{x}{4}$,整理得$x^{2}-12x+36=0$,解得$x_{1}=x_{2}=6$;当$\frac{AB}{CD}=\frac{PB}{PD}$时,△ABP∽△CDP,即$\frac{9}{4}=\frac{x}{12-x}$,解得$x=\frac{108}{13}$。
∴BP的长为6或$\frac{108}{13}$。