《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

【例1】如图1-1-2-1,在△ABC中,AC= BC,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF。求证：四边形DFCE是菱形。

答案： 证明:
∵ 点 D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点,
∴ DE//CF,$DE=\frac{1}{2}BC$,DF//CE,DF$=\frac{1}{2}AC$,
∴ 四边形 DECF 是平行四边形。
∵ AC=BC,
∴ DE=DF,
∴ 四边形 DFCE 是菱形。

【例2】如图1-1-2-2,在▱ABCD中,EF垂直平分对角线BD,交点为O。求证：四边形BFDE是菱形。

答案： 证明:
∵ 在$□ ABCD$中,EF 是 BD 的垂直平分线,
∴ BO=DO,$∠EDB=∠FBO$。在$\triangle DOE$和$\triangle BOF$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EDO=∠FBO,\\ OD=OB,\\ ∠EOD=∠FOB,\end{array}\right. $
∴$\triangle DOE\cong \triangle BOF(ASA)$,
∴ OE=OF。又
∵ OB=OD,
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形,又
∵ EF⊥BD,
∴ 四边形 BFDE 为菱形。

【例3】如图1-1-2-3,△ABC和△BDE都是等边三角形,点E,F分别为AB,BC边的中点。求证：四边形BDEF为菱形。

答案： 证明:
∵$\triangle ABC$和$\triangle BDE$都是等边三角形,
∴ AB=AC=BC,BE=DB=ED。
∵ 点 E,F 分别为 AB,BC 的中点,
∴$EF=\frac{1}{2}AC$,$EB=\frac{1}{2}AB$,$BF=\frac{1}{2}BC$,
∴ EF=EB=BF,
∴ EF=FB=DB=ED,
∴ 四边形 BDEF 为菱形。