《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

7. 如图4-4-1-8,在△ABC中,AB = 6,AC = 4,P是AC的中点,过P点的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为(B)

A.3

B.3或$\frac{4}{3}$
C.3或$\frac{3}{4}$

$D.\frac{4}{3}$

答案： B

8. 如图4-4-1-9,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AB = 10,BC = 6,CD//AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,则DE = $\frac{9}{5}\sqrt{5}$。

答案： $\frac{9}{5}\sqrt{5}$

9. 如图4-4-1-10,在▱ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE = ∠B。
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB = 8,$AD = 6\sqrt{3},$$AF = 4\sqrt{3},$求AE的长。

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AD//BC,
∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC。
∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C,
∴△ADF∽△DEC。
(2)解:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=8。由
(1)得△ADF∽△DEC,
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AF}{CD}$,即$\frac{6\sqrt{3}}{DE}=\frac{4\sqrt{3}}{8}$,解得DE=12。
∵AD//BC,AE⊥BC,
∴AE⊥AD,
∴∠DAE=90°。在Rt△ADE中,由勾股定理得,AE=6。

10. 如图4-4-1-11,△ABC和△DEP是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC = ∠PDE = 90°。
(1)若将△DEP的顶点P放在边BC上(如图4-4-1-11①),PD,PE分别与AC,AB相交于点F,G。求证：△PBG∽△FCP。
(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图4-4-1-11②),PD,PE与BC相交于点F,G。试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？

答案：
(1)证明:
∵△ABC,△DEP是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DPE=45°,
∴∠BPG+∠CPF=135°,在△BPG中,
∵∠B=45°,
∴∠BPG+∠BGP=135°,
∴∠BGP=∠CPF。
∵∠B=∠C,
∴△PBG∽△FCP。
(2)解:△PBG与△FCP相似。理由:
∵△ABC,△DEP是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DPE=45°,
∵∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG,∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG,
∴∠BGP=∠CPF。
∵∠B=∠C,
∴△PBG∽△FCP。