《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

【例 1】用公式法解方程：$2x^{2}+7x - 4 = 0$。
解题关键 先确定 $a,b,c$ 的值,再计算 $b^{2}-4ac$,当 $b^{2}-4ac\geq0$ 时,套求根公式 $x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 并化简,最后写出方程的根。

答案： 解:方程中a=2,b=7,c=-4,所以b²-4ac=49-4×2×(-4)=81＞0,x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(-7±√81)/(2×2)=(-7±9)/4,所以x₁=1/2,x₂=-4。

【例 2】不解方程,判断方程 $4x(x - 1)+3 = 0$ 根的情况。
解题关键 先将方程化成一般形式,再确定 $a,b,c$ 的值并确定根的判别式,根据判别式的取值情况判定一元二次方程根的情况。

答案： 解:原方程化为一般形式为4x²-4x+3=0,a=4,b=-4,c=3,Δ=b²-4ac=-32＜0,所以原方程没有实数根。

【例 3】已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^{2}-4x + 1 = 0$ 有两个实数根,则 $m$ 的取值范围是m≤4且m≠0。
解题关键 由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可知 $\Delta = b^{2}-4ac\geq0$,将 $a,b,c$ 的值代入 $\Delta$,求出 $m$ 的取值范围,最后考虑 $m$ 是二次项系数,因此 $m\neq0$。

答案： m≤4且m≠0