《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

【例 1】如图 1-1-1-1,已知菱形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$,延长 $AB$ 至点 $E$,使 $BE = AB$,连接 $CE$。

(1) 求证：$BD = EC$；
(2) 若 $\angle E = 50^{\circ}$,求 $\angle BAO$ 的大小。
解题关键 (1) 根据菱形的性质可得四边形 $BECD$ 是平行四边形,即可得证；(2) 根据菱形的性质可得 $AC \perp BD$,然后根据直角三角形两锐角互余即可得解。

答案： 例1.
(1)证明:
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD,AB//CD,
又
∵BE=AB,
∴BE=CD,
∴四边形BECD是平行四边形,
∴BD=EC。
(2)解:
∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD//CE。
∵∠E=50°,
∴∠ABO=∠E=50°。
又
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD。
∴∠BAO=90° - ∠ABO=40°。

【例 2】如图 1-1-1-2,四边形 $ABCD$ 为菱形,$DE \perp AB$,垂足为 $E$,且 $E$ 为 $AB$ 的中点,$BD = 4$。

(1) 求 $\angle DAB$ 的度数；
(2) 求 $AC$ 的长。
解题关键 (1) 利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质得出 $\triangle ABD$ 是等边三角形,进而得出答案；(2) 利用菱形的性质和勾股定理得出 $AC$ 的长。

答案： 例2.解:
(1)
∵DE⊥AB,垂足为E,且E为AB的中点,
∴AD=BD。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BA,
∴AB=AD=BD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠DAB=60°。
(2)
∵BD=4,△ABD是等边三角形，
∴DO=2,AD=4,
∴AO=√(AD² - DO²)=2√3,
∴AC=4√3。