《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

【例1】如图1-3-2-1,在△ABC中,∠C = 90°,∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F。求证：四边形CFDE是正方形。

解题关键 利用角平分线的性质得出一组邻边相等。

答案： 证明:过点D作DN⊥AB,垂足为N。
∵∠C=90°,DE⊥BC,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,
∴∠C=∠DEC=∠DFC=90°,
∴四边形CFDE是矩形。
∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC,DF⊥AC,DN⊥AB,
∴DE=DN,DN=DF,
∴DF=DE,
∴矩形CFDE是正方形。

【例2】如图1-3-2-2,在△ABC中,DE//AC交AB于点E,DF//AB交AC于点F。
(1)四边形AEDF是什么四边形？
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是矩形？
(3)当线段AD满足什么条件时,四边形AEDF是菱形？

(4)当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形？
解题关键 根据平行四边形与特殊四边形的关系得出条件。

答案：
(1)
∵DE//AC,DF//AB,
∴四边形AEDF是平行四边形。
(2)当∠BAC=90°时,四边形AEDF是矩形。
(3)当线段AD平分∠BAC时,四边形AEDF是菱形。
(4)当∠BAC=90°,且AD平分∠BAC时,四边形AEDF是正方形。(本题答案不唯一)