《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

1. 下列说法不正确的是(C)

A.对角线互相垂直的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.一组邻边相等的矩形是正方形

答案： C

2. 如图1-3-2-3,将矩形纸片折叠,使A点落在BC上的F处,折痕为BE。若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是(A)

A.邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形
D.轴对称图形是正方形

答案： A

3. 小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件：①AB = BC；②∠ABC = 90°；③AC = BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形(如图1-3-2-4),现有下列四种选法,其中错误的是(B)
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④

答案： B

4. 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件：AB=BC或AC⊥BD,使其成为正方形。(只填一个即可)

答案： AB=BC或AC⊥BD

5. 如图1-3-2-5,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF,CD,如果AC = BC,那么四边形DECF是正方形。

答案： 正方形

6. 如图1-3-2-6,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF = 45°。求证：矩形ABCD是正方形。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°。
∵∠CEF=45°，∠C=90°，
∴△ECF为等腰直角三角形，
∴EC=FC。设EC=FC=x，则EF=√(EC²+FC²)=√2x。
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF=√2x。
设矩形ABCD中，AB=CD=a，BC=AD=b，则BE=BC-EC=b-x，DF=CD-FC=a-x。
在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²，即(√2x)²=a²+(b-x)²，化简得2x²=a²+(b-x)²，整理得x²=a²+b²-2bx ①。
在Rt△ADF中，AF²=AD²+DF²，即(√2x)²=b²+(a-x)²，化简得2x²=b²+(a-x)²，整理得x²=a²+b²-2ax ②。
由①②得a²+b²-2bx=a²+b²-2ax，即2bx=2ax，
∴a=b。
∵四边形ABCD是矩形且邻边相等，
∴矩形ABCD是正方形。

7. 如图1-3-2-7,一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a. 两组对边分别相等；b. 一组对边平行且相等；c. 一组邻边相等；d. 一个角是直角,顺次添加的条件：①a→c→d,②b→d→c,③a→b→c,则正确的是(A)
A.①②
B.仅③
C.仅①
D.②③

答案： A