《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

8. 在△ABC中,AB = 9,AC = 6,BC = 12,点M在AB边上,且AM = 3,过点M作直线交另一边于点N,使截得的三角形与原三角形相似,则MN的长为3或4或6。

答案： 3或4或6

9. 如图4-4-3-9,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,DF = 3CF,猜想：△AEF与△ECF相似吗？请说明理由。

答案： 解:△AEF与△ECF相似。理由如下:设正方形ABCD的边长为4a,
∴AB=BC=CD=AD=4a。
∵E是BC的中点,DF=3CF,
∴BE=CE=2a,CF=a,DF=3a。
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=∠D=90°,
∴由勾股定理得$AE=2\sqrt{5}a$,$EF=\sqrt{5}a$,AF=5a,
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{EF}{CF}=\frac{AF}{EF}=\sqrt{5}$,
∴△AEF∽△ECF。

10. 如图4-4-3-10,在△ABC和△ADE中,$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$,点B,D,E在同一条直线上,求证：△ABD∽△ACE。

答案： 证明:
∵在△ABC和△ADE中,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABC∽△ADE。
∴∠BAC=∠DAE,$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,
∴∠BAD=∠CAE,
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,
∴△ABD∽△ACE。

11. (将军饮马模型)如图4-4-3-11,在四边形ABCD中,∠ABC = 90°,AD//BC,AD = 6,AB = 7,BC = 8,点P是AB上一个动点。
(1)当AP = 3时,△DAP与△CBP相似吗？请说明理由。
(2)求PD + PC的最小值。

答案：
(1)相似。理由如下:
∵∠ABC=90°,AD//BC,
∴∠BAD=90°。
∵AP=3,AB=7,
∴PB=4,
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,$\frac{PB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{BP}{BC}$,
∴△DAP∽△CBP。
(2)作点D关于AB的对称点D',连接D'C交BA于点P,过点D'作D'E⊥BC,交BC的反向延长线于E。
∵点D与点D'关于AB对称,
∴PD=D'P,
∴PD+PC=D'P+PC=D'C。在Rt△D'EC中,由勾股定理得$D'C=\sqrt{D'E^2+EC^2}=\sqrt{7^2+14^2}=7\sqrt{5}$。
∴PD+PC的最小值为$7\sqrt{5}$。