《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

8. 如图 4 - 1 - 1 - 3,一张矩形纸片 $ ABCD $ 的长 $ AB = a \, cm $,宽 $ BC = b \, cm $,$ E $,$ F $ 分别为 $ AB $,$ CD $ 的中点,这张纸片沿直线 $ EF $ 对折后,矩形 $ AEFD $ 的长与宽之比等于矩形 $ ABCD $ 的长与宽之比,则 $ a:b $ 等于(A)

A.$ \sqrt{2}:1 $
B.$ 1:\sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3}:1 $
D.$ 1:\sqrt{3} $

答案： A

9. 已知线段 $ a $,$ b $,$ c $ 满足 $ a:b:c = 3:2:5 $,且 $ a + b + 2c = 30 $。
(1)求 $ a $,$ b $,$ c $ 的值；
(2)若线段 $ x $ 满足 $ a:x = x:b $,求 $ x $ 的值。

答案：
(1)
∵a:b:c=3:2:5,
∴设a=3k,b=2k,c=5k。
∵a+b+2c=30,
∴3k+2k+10k=30,解得k=2。
∴a=6,b=4,c=10。
(2)
∵a:x=x:b,
∴$x^{2}=ab=4×6=24$,
∴$x=2\sqrt{6}$或$x=-2\sqrt{6}$(舍去),即x的值为$2\sqrt{6}$。

10. 如图 4 - 1 - 1 - 4,已知四边形 $ ABCD $ 与四边形 $ ABFE $ 都是矩形,$ AB = 3 $,$ AD = 6.5 $,$ BF = 2 $。
(1)求下列各组线段的比值：$ \frac{CD}{BC} $,$ \frac{EF}{CF} $,$ \frac{BF}{AB} $；
(2)写出 $ AB $,$ BC $,$ CF $,$ CD $,$ EF $,$ BF $ 这六条线段中的成比例线段。(写一组即可)

答案：
(1)
∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3,AD=6.5,BF=2,
∴CD=EF=AB=3,BC=AD=6.5,CF=BC-BF=4.5,
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{3}{6.5}=\frac{6}{13}$,$\frac{EF}{CF}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$,$\frac{BF}{AB}=\frac{2}{3}$。
(2)成比例线段有$\frac{EF}{CF}=\frac{FB}{AB}$。(答案不唯一)

11. (新定义题)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们就把这个三角形叫作比例三角形。已知 $ \triangle ABC $ 是比例三角形,$ AB = 2 $,$ BC = 3 $,求 $ AC $ 的长。

答案： 解:
∵△ABC是比例三角形,且AB=2,BC=3,①当$AB^{2}=BC·AC$时,得4=3AC,解得AC=$\frac{4}{3}$;②当$BC^{2}=AB·AC$时,得9=2AC,解得AC=$\frac{9}{2}$;③当$AC^{2}=AB·BC$时,得$AC^{2}=6$,解得$AC=\sqrt{6}$(负值舍去)。综上,当AC=$\frac{4}{3}$或$\frac{9}{2}$或$\sqrt{6}$时,△ABC是比例三角形。