《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

5. 如图4-7-2-3,已知在▱ABCD中,点P在BC上,且BP:PC= 1:3,连接AP,BD,交于点Q,$S_{△BPQ}= 3cm^2。$求：
(1)△BPQ与△DAQ的周长比；
(2)△DAQ的面积。

答案：
(1)$C_{\triangle BPQ}:C_{\triangle DAQ}=1:4$
(2)$S_{\triangle DAQ}=48\ cm^2$

6. 两块直角三角尺如图4-7-2-4所示放置,其中∠ACB= ∠CBD= 90°,∠A= 45°,∠D= 30°,若BC= 1,求$S_{△ACE}:S_{△BDE}。$

答案： 解:$\because AC\perp BC,DB\perp BC,\therefore AC// DB$,
$\therefore \triangle ACE\backsim\triangle BDE$。设$AC=BC=x$,
$\therefore DB=\sqrt{3}x$,$\therefore \frac{S_{\triangle ACE}}{S_{\triangle BDE}}=\left( \frac{AC}{DB}\right)^2=\left( \frac{x}{\sqrt{3}x}\right)^2$
$=\frac{1}{3}$。

7. 如图4-7-2-5,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'= 1,则A'D等于多少？

答案： 解:$\because S_{\triangle ABC}=16$,$S_{\triangle A'EF}=9$,且$AD$为$BC$边的中线,$\therefore S_{\triangle A'DE}=\frac{1}{2}S_{\triangle A'EF}=\frac{9}{2}$,
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=8$,
$\because$ 将$\triangle ABC$沿$BC$边上的中线$AD$平移得到$\triangle A'B'C'$,$\therefore A'E// AB$,
$\therefore \triangle DA'E\backsim\triangle DAB$,
则$\left( \frac{A'D}{AD}\right)^2=\frac{S_{\triangle A'DE}}{S_{\triangle ADE}}$,即$\left( \frac{A'D}{A'D+1}\right)^2=\frac{\frac{9}{2}}{8}=\frac{9}{16}$,
解得$A'D=3$或$A'D=-\frac{3}{7}$(舍)。所以$A'D=3$。

8. (规律探索)(1)如图4-7-2-6①,在△ABC中,AB= 4,DE//BC,DE把△ABC分成面积相等的两部分,即$S_{Ⅰ}=S_{Ⅱ},$求AD的长；
(2)如图4-7-2-6②,AB= 4,DE//FG//BC,DE,FG把△ABC分成面积相等的三部分,即$S_{Ⅰ}=S_{Ⅱ}=S_{Ⅲ},$求AD的长；
(3)如图4-7-2-6③,AB= 4,DE//FG//HK//…//BC,DE,FG,HK,…把△ABC分成面积相等的n部分,即$S_{Ⅰ}=S_{Ⅱ}=S_……{Ⅲ}=,$请直接写出AD的长。

答案：
(1)$\because S_{I}=S_{II}$,$\therefore S_{I}:S_{\triangle ABC}=1:2$,
$\because DE// BC$,
$\therefore \angle ADE=\angle B$,$\angle AED=\angle C$。
$\therefore \triangle ADE\backsim\triangle ABC$,$\therefore AD:AB=1:\sqrt{2}$,
$\therefore AD=4÷\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
(2)$\because S_{I}=S_{II}=S_{III}$,$\therefore S_{I}:S_{\triangle ABC}=1:3$。
$\because DE// BC$,
$\therefore \angle ADE=\angle B$,$\angle AED=\angle C$。
$\therefore \triangle ADE\backsim\triangle ABC$,
$\therefore AD:AB=1:\sqrt{3}$,
$\therefore AD=4÷\sqrt{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$。
(3)观察
(1)
(2),得$AD=\frac{4}{n}\sqrt{n}$。