《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

【例 3】如图 4 - 5 - 3,已知$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$,求证：∠BAD = ∠CAE。

解题关键 运用“三角形三边对应成比例”证明两个三角形相似,再由相似三角形的对应角相等来证明两个角相等。

答案： 证明:
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE。

1. 如图 4 - 5 - 4,在边长为 9 的等边三角形 ABC 中,BD = 3,∠ADE = 60°,则 AE 的长为(B)

A.6
B.7
C.8

D.9

答案： B

2. 如图 4 - 5 - 5,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(2,0),点 C 在第一象限,若以 A,B,C 为顶点的三角形与△AOB 相似(不包括全等),则符合点 C 的个数是(D)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： D

3. 如图 4 - 5 - 6,在等边三角形 ABC 中,D,E 分别在 AC,AB 上,$\frac{AD}{AC}= \frac{1}{3}$,且 AE = BE,则有(D)

A.△AED∽△ABC
B.△ADB∽△BED
C.△BCD∽△ABC
D.△AED∽△CBD

答案： D

4. (2025 陕西中考)如图 4 - 5 - 7,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 为 AB 的中点,点 F 在 AD 上,EF⊥EC,则△CEF 的面积为(C)
A.10
B.8
C.5
D.4

答案： C

5. 如图 4 - 5 - 8,要使△ACD∽△ABC,需要补充的条件是 ∠ACD=∠ABC。

答案： ∠ACD=∠ABC