《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 的中点,则△ADE 与△ABC 的面积比为1:4。

答案： 1:4

2. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AC,BC 的中点,F 是 BC 延长线上一点,∠F = ∠B。
(1) 若 AB = 10,求 DF 的长；
(2) 若 AC = BC,求证：△CDE∽△DFE。

答案：
(1)DF=5
(2)略

3. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 10 cm,AD = 20 cm,两只小虫 P 和 Q 同时分别从 A,B 出发沿 AB,BC 向终点 B,C 方向前进,小虫 P 每秒走 1 cm,小虫 Q 每秒走 2 cm,请问它们同时出发多少秒时,△PBQ 与△ACD 相似？

答案： 解:设经过x s后,△PBQ与△ACD相似。
∵∠PBQ=∠ADC=90°,
∴当$\frac{PB}{CD}=\frac{BQ}{DA}$时,△PBQ∽△CDA,
即$\frac{10-x}{10}=\frac{2x}{20}$,解得x=5;
当$\frac{PB}{AD}=\frac{BQ}{DC}$时,△QBP∽△CDA,
即$\frac{10-x}{20}=\frac{2x}{10}$,解得x=2。
所以,经过5 s或2 s后,△PBQ与△ACD相似。