《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

1. 如图,矩形 $ABCD$ 沿着 $AE$ 折叠,使 $D$ 点落在 $BC$ 边上的 $F$ 点处,如果 $\angle BAF = 60^{\circ}$,则 $\angle DAE$ 等于 (A)

A.$15^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： A

2. 如图,将矩形纸片 $ABCD$ 折叠,使顶点 $A$ 与边 $CD$ 上的点 $E$ 重合,折痕 $FG$ 分别与 $AB$,$CD$ 交于点 $G$,$F$,$AE$ 与 $FG$ 交于点 $O$。求证：$A$,$G$,$E$,$F$ 四点构成的四边形是菱形。

答案： 证明：
∵矩形ABCD中，AB//CD，
∴∠AGF=∠EFG（两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质，FG垂直平分AE，即AO=OE，∠AOG=∠EOF=90°。
在△AOG和△EOF中，
∠AGF=∠EFG，
∠AOG=∠EOF，
AO=EO，
∴△AOG≌△EOF（AAS），
∴GO=FO。
∵AO=OE，GO=FO，
∴四边形AGEF对角线互相平分，
∴四边形AGEF是平行四边形。
由折叠性质，AG=EG，
∴平行四边形AGEF有一组邻边相等，
∴四边形AGEF是菱形。

3. 如图,在矩形纸片 $ABCD$ 中,已知 $AD = 8$,折叠纸片使 $AB$ 边与对角线 $AC$ 重合,点 $B$ 落在点 $F$ 处,折痕为 $AE$,且 $EF = 3$,则 $AB$ 的长为 (D)

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： D

4. 准备一张矩形纸片 $ABCD$,按如图所示操作：将 $\triangle ABE$ 沿 $BE$ 翻折,使点 $A$ 落在对角线 $BD$ 上的点 $M$ 处,将 $\triangle CDF$ 沿 $DF$ 翻折,使点 $C$ 落在对角线 $BD$ 上的点 $N$ 处。
(1)求证：四边形 $BFDE$ 是平行四边形；
(2)若四边形 $BFDE$ 是菱形,$AB = 2$,求菱形 $BFDE$ 的面积。

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AB//CD,
∴ ∠ABD=∠CDB。又由折叠的性质知∠ABE=∠EBD,∠CDF=∠FDB,
∴ ∠EBD=∠FDB,
∴ EB//DF。又
∵ ED//BF,
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形。
(2)解:
∵ 四边形 BFDE 是菱形,
∴ BE=ED=BF,∠EBD=∠FBD=∠ABE。
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD=BC,∠ABC=90°,
∴ ∠ABE=30°。
∵ ∠A=90°,AB=2,
∴ AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,BF=BE=2AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴ 菱形 BFDE 的面积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}×2=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。