《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

8. 如图 4 - 3 - 7,取一张长为 $a$,宽为 $b$ 的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长方形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则原长方形纸片的边 $a$,$b$ 应满足的关系是(B)

A.$a = b$
B.$a = 2b$
C.$a = 2\sqrt{2}b$
D.$a = 4b$

答案： B

9. 如图 4 - 3 - 8,在 $AB = 30\ m$,$AD = 20\ m$ 的矩形花坛四周修筑小路。
(1) 如果四周的小路的宽均为 $x$,如图①,小路四周所围成的矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似吗？请说明理由；
(2) 如果相对着的两条小路的宽均相等,宽度分别为 $x$,$y$,如图②所示,请问：小路的宽 $x$ 与 $y$ 的比值为多少时,矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似？请说明理由。

答案： 解:
(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似。理由：
∵ 四周的小路的宽为x，
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{30+2x}{30}=\frac{15+x}{15},\frac{A'D'}{AD}=\frac{20+2x}{20}=\frac{10+x}{10}$，
∴ $\frac{30+2x}{30}≠\frac{20+2x}{20}$,即$\frac{A'B'}{AB}≠\frac{A'D'}{AD}$。
所以小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似。
(2)因为当$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$,即$\frac{30+2y}{30}=\frac{20+2x}{20}$时，小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似,解得$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，
所以路的宽x与y的比值为2:3时,能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似。

10. 如图 4 - 3 - 9,矩形纸片 $ABCD$ 的边 $AB$ 为长 $2\ cm$,动直线 $l$ 分别交 $AD$,$BC$ 于点 $E$,$F$,且 $EF// AB$。
(1) 若直线 $l$ 是矩形 $ABCD$ 的对称轴,且沿着直线 $l$ 剪开后得到的矩形 $EFCD$ 与原矩形 $ABCD$ 相似,试求 $AD$ 的长；
(2) 若使 $AD = (\sqrt{5} + 1)\ cm$,试探究：在 $AD$ 边上是否存在点 $E$,使剪刀沿直线 $l$ 剪开后,所得到的小矩形纸片与原矩形 $ABCD$ 相似？若存在,请求 $AE$ 的长；若不存在,请说明理由。

答案： 解:
(1)
∵ 矩形EFCD∽矩形CBAD，
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CF}$。
又
∵ CD=AB=2,可设AD=2CF=2x，
∴ $\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$,则$x=\sqrt{2}$,故$AD=2\sqrt{2}$ cm。
(2)假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似,则DC必与AD对应,ED必与DC对应，
则$\frac{DC}{AD}=\frac{ED}{DC}$,
∴ $DC^2=AD·ED$。
又
∵ DC=2 cm,$AD=(\sqrt{5}+1)$ cm，
∴ $ED=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=(\sqrt{5}-1)$ cm，
∴ $AE=\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1)=2$ (cm)，
而$AE=2＞\sqrt{5}-1=DE$。
依据对称性,必存在当$AE=\sqrt{5}-1$时,使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形,综上,当$AE=(\sqrt{5}-1)$ cm或2 cm时,剪开所得小矩形与原矩形相似。