《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

9. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m-\sqrt{2})x^{2}+3x + m^{2}-2 = 0 $ 的一个根是0,求 $ m $ 的值。

答案： $m=-\sqrt {2}$

10. 已知 $ x^{2}+y^{2}+4x + 6y + 13 = 0 $,且 $ x,y $ 为实数,求 $ xy^{2} $ 的值。

答案： 解:$\because x^{2}+y^{2}+4x+6y+13=0,$
$\therefore x^{2}+4x+2^{2}+y^{2}+6y+3^{2}=0,$
$\therefore (x+2)^{2}+(y+3)^{2}=0$。
$\because (x+2)^{2}\geq0,(y+3)^{2}\geq0,$
$\therefore x+2=0,y+3=0,\therefore x=-2,y=-3$。
$xy^{2}=(-2)×(-3)^{2}=-18$。

11. 先阅读下面的例题,再按照要求解答下列问题：
例：求代数式 $ y^{2}+4y + 8 $ 的最小值。
解：$ y^{2}+4y + 8 = y^{2}+4y + 2^{2}-2^{2}+8= (y + 2)^{2}+4 $,
$ \because (y + 2)^{2}\geq0 $,$ \therefore (y + 2)^{2}+4\geq4 $,
$ \therefore y^{2}+4y + 8 $ 的最小值是4。
(1) 求代数式 $ m^{2}+2m + 6 $ 的最小值；
(2) 求代数式 $ -x^{2}+4x + 6 $ 的最大值。

答案： 解:
(1)$m^{2}+2m+6=(m+1)^{2}+5,$
$\because (m+1)^{2}\geq0,\therefore (m+1)^{2}+5\geq5,$
则$m^{2}+2m+6$的最小值是5。
(2)$-x^{2}+4x+6=-(x-2)^{2}+10,$
$\because -(x-2)^{2}\leq0,\therefore -(x-2)^{2}+10\leq10,$
则$-x^{2}+4x+6$的最大值为10。