《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

6. 四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形,当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变。如图1-3-1-8,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D',若∠D'AB = 30°,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD面积的比值是(B)

A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： B

7. 如图1-3-1-9,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边DC上,AE平分∠DAC,EF ⊥ AC,垂足为F,那么FC = √2−1。

答案： √2−1

8. 如图1-3-1-10,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,作DE ⊥ AG,垂足为E,BF // DE交AG于点F,探究线段AF,BF,EF三者之间的数量关系,并说明理由。

答案： 解:线段AF,BF,EF三者之间的关系:AF =BF+EF。理由:
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=AD,∠BAD=∠1+∠2=90°,又
∵ DE⊥AG,
∴ ∠DEA=90°,
∴ ∠1+∠3=90°,
∴ ∠2=∠3,又
∵ ∠DEF=90°,BF//DE,
∴ ∠BFA=90°。在Rt△DAE和Rt△ABF中,{∠DEA=∠AFB,∠3=∠2,DA=AB,
∴ △DAE≌△ABF,
∴ AE=BF,
∴ AF=AE+EF=BF+EF。

9. (类比思想)如图1-3-1-11,四边形ABCD是正方形,E是BC边所在直线上的点,∠AEF = 90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F。
(1)当点E在线段BC中点时(如图①),易证AE = EF,请证明；
(2)当点E在线段BC上移动(如图②)或在线段BC延长线上(如图③)时,(1)中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想,并选择图②或图③的一种结论给予证明。

答案： 解:
(1)证明:如图①,取AB中点M,连接ME。
∵ 点E是BC的中点，点M是AB的中点，
∴ AM=BM=BE=CE,
∴ ∠BME=45°,
∴ ∠AME=135°。
∵ CF是外角平分线，
∴ ∠DCF=45°,
∴ ∠ECF=135°,
∴ ∠AME=∠ECF,
∵ ∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴ ∠BAE=∠CEF,
∴ △AME≌△ECF(ASA),
∴ AE=EF。
(2)
(1)中结论依然成立。理由:如图②,在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME,则BM=BE,
∴ ∠BME=45°,
∴ ∠AME=135°。
∵ CF是外角平分线，
∴ ∠DCF=45°,
∴ ∠ECF=135°,
∴ ∠AME=∠ECF,
∵ ∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴ ∠BAE=∠CEF,
∴ △AME≌△ECF(ASA),
∴ AE=EF。