《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

【例1】不解方程,求下列方程两根的和与积：
(1)$x^{2}-3x+2 = 0$； (2)$4x^{2}+x-7 = 0$；
(3)$5x^{2}+2 = 4x^{2}-8x$。
解题关键 先将方程化为一般形式,确定$a$,$b$,$c$的值,然后利用两根之和与两根之积同系数之间的关系直接求出答案。

答案：
(1)$x_{1}+x_{2}=3,x_{1}x_{2}=2$
(2)$x_{1}+x_{2}=-\frac {1}{4},x_{1}x_{2}=-\frac {7}{4}$
(3)$x_{1}+x_{2}=-8,x_{1}x_{2}=2$

易错提醒 一元二次方程的根与系数之间的关系是建立在一元二次方程有实数根的前提条件下的。

答案： 答案略

【例2】已知一元二次方程$x^{2}+3x-1 = 0的两根是x_{1},x_{2}$,请利用根与系数的关系求值：
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；(2)$(x_{1}+1)(x_{2}+1)$；
(3)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$。
解题关键 先求出所给方程的两根之和及两根之积,再将所求代数式用两根之和及两根之积表示出来,整体代入即可。

答案： 解:
∵ 一元二次方程$x^{2}+3x-1=0$的两根是$x_{1},x_{2}$,且$\Delta =b^{2}-4ac=9-4×1×(-1)=13＞0$,
∴ 原方程有两个实数根,
∴$x_{1}+x_{2}=-3,x_{1}x_{2}=-1$。
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$$=(-3)^{2}-2×(-1)=11$。
(2)$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1$$=-1+(-3)+1=-3$。
(3)$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=\frac {x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac {-3}{-1}=3$。