《2025年绩优学案九年级数学上册北师大版》

1. (2023 陕西中考)一个不透明的袋子中装有四个小球,这四个小球上各标有一个数字,分别是 $1$, $1$, $2$, $3$,这些小球除标有的数字外都相同。
(1)从袋中随机摸出一个小球,则摸出的这个小球上标有的数字是 $1$ 的概率为$\frac{1}{2}$;
(2)先从袋中随机摸出一个小球,记下小球上标有的数字后,放回、摇匀,再从袋中随机摸出一个小球,记下小球上标有的数字,请利用画树状图或列表的方法,求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率。
$P=\frac{7}{16}$

答案：
(1)$\frac{1}{2}$
(2)$P=\frac{7}{16}$

2. 在一个不透明的袋中有 $3$ 张形状和大小完全相同的卡片,编号分别为 $1$, $2$, $3$,先从中任取一张,将其编号记为 $m$,再从剩下的两张中任取一张,将其编号记为 $n$,则关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx + n = 0$ 有两个不相等的实数根的概率是多少?

答案： $\frac{1}{3}$

3. 在一个不透明的口袋中放有若干个红球和白球,这两种球除了颜色以外没有任何其他区别,将袋中的球摇匀。每次从口袋中取出一个球记录颜色后放回再摇匀,经过大量的试验,得到取出红球的频率是 $0.25$。
(1)取出白球的概率是多少?
(2)如果袋中的白球有 $18$ 个,那么袋中的红球有多少个?

答案： 解:
(1)$P$(取出白球)$=\frac{3}{4}$
(2)设袋中的红球有$x$个,则有$\frac{x}{x+18}=\frac{1}{4}$,解得$x=6$。经检验,$x=6$是原方程的解。所以袋中的红球有6个。

4. 研究问题:一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球,怎样估算不同颜色球的数量?
操作方法:先从盒中摸出 $8$ 个球,画上记号放回盒中,再进行摸球试验,摸球试验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,放回盒中,再继续。
活动结果:摸球试验活动一共做了 $50$ 次,统计结果如下表:

推测计算:由上述的摸球试验可推算:
(1)盒中红球和黄球占总球数的百分比分别是多少?
(2)盒中有红球多少个?

答案： 解:
(1)由题可知,50次摸球试验中,出现红球20次,黄球30次,$\therefore$红球所占百分比为$20÷50=40\%$,黄球所占百分比为$30÷50=60\%$,即红球占$40\%$,黄球占$60\%$。
(2)由题意可知,50次摸球试验活动中,出现有记号的球4次,$\therefore$总球数为$8÷\frac{4}{50}=100$(个),$\therefore$红球数为$100×40\% =40$(个)。答:盒中有红球40个。