《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

探索勾股定理的无字证明——教材P138“数学活动”变式阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应任务.从勾股定理的“无字证明”谈起在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理.图1是古印度的一种证明方法：过正方形ADEC的中心O作两条互相垂直的直线，将正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一个大正方形.这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证明了勾股定理，这种根据图形直观推断或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.意大利著名画家达·芬奇用如图2所示的方法证明了勾股定理，其中图甲的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图丙的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图甲中空白部分的面积为S₁，图丙中空白部分的面积为S₂.
任务：
(1)下面是小亮利用图2验证勾股定理的过程，请帮他补充完整：
解：根据题意，得S₁=a²+b²+$\frac{1}{2}ab$×2=a²+b²+ab，
S₂=c²+2×$\frac{1}{2}ab$=c²+ab.
∵S₁=S₂，
∴ ，即 ；
(2)我国是最早了解勾股定理的国家之一.东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”.如图3，若CB=6，CG=8，则IH的长为 ；
(3)在初中的数学学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，一些代数恒等式也可以通过“无字证明”来解释.可以借助图4直观解释的代数恒等式为 .借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题，在此过程中体现的数学思想是 ；(填字母)
A.分类讨论思想 B.公理化思想
C.数形结合思想 D.从特殊到一般的思想
(4)实际上，初中数学还有一些代数恒等式(除上述涉及的)也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式.

答案：
a²+b²+ab=c²+ab; a²+b²=c²; 10; (3a)²=9a²; C; 解：答案不唯一，例如：(a+b)²=a²+2ab+b²，画出图形如图所示.