《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

 勾股定理史话——教材P129“阅读材料”变式【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a²+b²=c².
(1)请将下列说理过程补充完整：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c.求证：a²+b²=c².证明：由图可知，S正方形ABED=4S△ABC+S正方形CFGH，∵S正方形ABED=c²，S△ABC= ，正方形CFGH的边长为 ，∴c²=4×$\frac{1}{2}ab$+(a-b)²=2ab+a²-2ab+b²，即a²+b²=c².
【深入思考】如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角三角形ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，垂足为E.
(2)求证：DE=a，BE=b；
(3)请用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a²+b²=c²；
【实际应用】(4)将图1的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”.若a=12，b=9，“数学风车”外围轮廓(图中实线部分)的总长度为108，求这个风车图案的面积.

答案： 解：（2）证明：
∵DE⊥BC，
∴∠E=90°，∠DBE+∠BDE=90°.
∵∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=90°.
∴∠ABC=∠BDE.又
∵∠C=∠E=90°，AB=BD，
∴△ABC≌△BDE(AAS).
∴DE=BC=a，BE=AC=b.
（3）证明：方法一：S梯形ACED=S△ABC+S△ABD+S△BED=$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}c²$+$\frac{1}{2}ab$=ab+$\frac{1}{2}c²$.方法二：S梯形ACED=$\frac{1}{2}(AC+DE)(CB+BE)$=$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$=$\frac{1}{2}(a+b)²$.
∵$\frac{1}{2}(a+b)²=ab+\frac{1}{2}c²$，
∴a²+b²=c².
（4）
∵“数学风车”外围轮廓的总长度为108，
∴AD+BD=108÷4=27.设AD=x，则BD=27-x.在Rt△BCD中，BC²+CD²=BD²，
∴a²+(b+x)²=(27-x)².
∵a=12，b=9，
∴(9+x)²+144=(27-x)²，解得x=7.
∴CD=b+x=9+7=16.
∵小正方形的边长为a-b=12-9=3，
∴S风车=$\frac{1}{2}$·BC·CD×4+3×3=$\frac{1}{2}$×12×16×4+3×3=393.