《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

1. 如图，P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补。若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点。求证：PM=PN。

【拓展1】 OM+ON的值是否发生变化？请说明理由。

【拓展2】 四边形PMON的面积是否发生变化？请说明理由。

答案：
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F。
∴∠PEO=∠PFO=90°。
∴∠EPF+∠AOB=180°。
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN。
∴∠EPF-∠EPN=∠MPN-∠EPN，即∠FPN=∠EPM。
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，OP=OP，
∴△EOP≌△FOP(AAS)。
∴PE=PF。在△PEM和△PFN中，∠EPM=∠FPN，PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)。
∴PM=PN。
@@解：OM+ON的值不变。理由如下：
∵△PEM≌△PFN，
∴ME=NF。易证△EPO≌△FPO，
∴OE=OF。
∴OM+ON=OE+EM+ON=OE+NF+ON=OE+OF=2OE=定值。
@@解：四边形PMON的面积不发生变化。理由如下：
∵△PEM≌△PFN，
∴S△PEM=S△PFN。
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值。
∴四边形PMON的面积不发生变化。

2. 如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上。求证：BC=AB+CD。

答案：
证明：在BC上截取BF=AB，连结EF。
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE=∠FBE，∠FCE=∠DCE。
在△ABE和△FBE中，AB=FB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(SAS)。
∴∠A=∠BFE。
∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°。
∴∠BFE+∠D=180°。
∵∠BFE+∠CFE=180°，
∴∠CFE=∠D。
在△FCE和△DCE中，∠CFE=∠D，∠FCE=∠DCE，CE=CE，
∴△FCE≌△DCE(AAS)。
∴CF=CD。
∴BC=BF+CF=AB+CD。