《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

11.(2024·新乡封丘县期中)第十三届郑州国际少林武术节举行期间,来自国内外的上千名嘉宾、武术团体及运动员汇聚于此,共同欣赏和感受中国武术的深厚底蕴和文化魅力.如图,这是某武校为武术节筹备建造的一个武术表演台(阴影部分,单位:m).
(1)请用含m,n的式子表示表演台的面积S;(结果化为最简)
(2)若修建表演台的费用为200元$/m^2,$且m=20,n=12,则修建表演台需要费用多少元?

$(1)S=(2m+n)(m+2n)-mn-(m-n)^2-(2m+n)(m-n)=2m^2+4mn+mn+2n^2-mn-(m^2-2mn+n^2)-(2m^2-2mn+mn-n^2)=(-m^2+7mn+2n^2)m^2.(2)$当m=20,n=12时,原式$=-20^2+7×20×12+2×12^2=1568.$
则200×1568=313600(元).

答:修建表演台需要费用313600元.

答案： $(1)S=(2m+n)(m+2n)-mn-(m-n)^2-(2m+n)(m-n)=2m^2+4mn+mn+2n^2-mn-(m^2-2mn+n^2)-(2m^2-2mn+mn-n^2)=(-m^2+7mn+2n^2)m^2.(2)$当m=20,n=12时,原式$=-20^2+7×20×12+2×12^2=1568.$则200×1568=313600(元).
答:修建表演台需要费用313600元.

12.(2024·南阳社旗县期中)一个多项式,把它分解因式后有一个因式为x+1,请写出一个符合条件的多项式：$x^2-1($答案不唯一).

答案： $x^2-1($答案不唯一)

13.(2024·南阳桐柏县月考)先分解因式,再求值$:-x^4y^2+4x^3y^3-4x^2y^4,$其中$xy=-3,x-2y=\frac{1}{3}.$

答案： -1

14.(教材P52新增习题T7变式)(2024·南阳宛城区月考)例题:已知二次三项式$x^2-4x+m$分解因式后有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为x+n.
则$x^2-4x+m=(x+3)(x+n).$
∴$x^2-4x+m=x^2+(n+3)x+3n.$
∴$\begin{cases}n+3=-4,\\m=3n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-21,\\n=-7.\end{cases}$
∴另一个因式为x-7,m的值为-21.
请仿照上述方法解答下面问题：
(1)若$x^2+bx+c=(x-2)(x+3),$则b=1,c=-6；
(2)已知二次三项式$8x^2-14x-k$分解因式后有一个因式是4x-1,求另一个因式以及k的值；
(3)若多项式$x^2-mx+n(m,n$是常数)分解因式后,有一个因式是x-2,求代数式$\frac{9^m}{3^n}$的值.

答案：
(1)1；-6
(2)设另一个因式为$2x + a$。
则$8x^2 - 14x - k=(4x - 1)(2x + a)$。
$\therefore 8x^2 - 14x - k=8x^2+(4a - 2)x - a$。
$\therefore \begin{cases}4a - 2=-14\\-k=-a\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-3\\k=-3\end{cases}$。
$\therefore$另一个因式为$2x - 3$，$k$的值为$-3$。
(3)设另一个因式为$x + b$。
则$x^2 - mx + n=(x - 2)(x + b)$。
$\therefore x^2 - mx + n=x^2+(b - 2)x - 2b$。
$\therefore \begin{cases}-m=b - 2\\n=-2b\end{cases}$，可得$m + n=2 - b - 2b=2 - 3b$（此处应为$m = 2 - b$，$n=-2b$，则$m - \frac{n}{2}=2 - b - (-b)=2$，即$2m - n=4$）。
$\frac{9^m}{3^n}=\frac{(3^2)^m}{3^n}=3^{2m - n}=3^4 = 81$。