《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

阅读材料,完成下列任务:

因为无理数是无限不循环小数,所以无理数的小数部分我们不可能全部地写出来,比如:π,√2等,而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确.

材料一:∵√4<√7<√9,即2<√7<3,∴1<√7−1<2.

∴√7−1的整数部分为1,小数部分为√7−2.

材料二:我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值.

我们知道,面积是2的正方形的边长是√2,易知√2>1,因此可设√2=1+x,并画出如图所示的示意图.

解:由图计算面积,得S正方形=x²+2×1·x+1,

∵S正方形=2,

∴x²+2×1·x+1=2.

∵x是√2的小数部分,小数部分的平方很小,直接省略x²,

∴得方程2x+1=2,解得x=0.5,即√2≈1.5.

任务:

(1)利用材料一中的方法，求$\sqrt{85}$的小数部分；

解:(1)∵$\sqrt{81}＜\sqrt{85}＜\sqrt{100}$,∴9＜$\sqrt{85}$＜10.∴$\sqrt{85}$的整数部分为9,小数部分为$\sqrt{85}-9.$
(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究$\sqrt{5}$的近似值.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)我们知道,面积是5的正方形的边长是$\sqrt{5}$,易知$\sqrt{5}＞2$,因此可设$\sqrt{5}=2+x$,可画出如图所示的示意图.由图计算面积,得$S_{正方形}=x^2+2×2x+4$,∵$S_{正方形}=5$,∴$x^2+4x+4=5$.∵x是$\sqrt{5}$的小数部分,小数部分的平方很小,直接省略$x^2$,∴得方程$4x+4=5$,解得$x=0.25$,即$\sqrt{5}\approx2.25.$

答案：
解:
(1)
∵$\sqrt{81}＜\sqrt{85}＜\sqrt{100}$,
∴9＜$\sqrt{85}$＜10.
∴$\sqrt{85}$的整数部分为9,小数部分为$\sqrt{85}-9.$
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(2)我们知道,面积是5的正方形的边长是$\sqrt{5}$,易知$\sqrt{5}＞2$,因此可设$\sqrt{5}=2+x$,可画出如图所示的示意图.由图计算面积,得$S_{正方形}=x^2+2×2x+4$,
∵$S_{正方形}=5$,
∴$x^2+4x+4=5$.
∵x是$\sqrt{5}$的小数部分,小数部分的平方很小,直接省略$x^2$,
∴得方程$4x+4=5$,解得$x=0.25$,即$\sqrt{5}\approx2.25.$