《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

华师版八年级上册数学教材第12页的“阅读材料”：为什么说$\sqrt{2}$不是有理数.
（1）【阅读与思考】假设$\sqrt{2}$是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设$\sqrt{2}=\frac{q}{p}$（q,p是互质的正整数）.由$\sqrt{2}$的意义，可知$(\frac{q}{p})^2=2$，即$q^2=$$2p^2$.显然，$2p^2$是偶数，即$q^2$是偶数.因此q是偶数.于是，可设$q=2k$（k是正整数）.由上式，得$(2k)^2=2p^2$，从而$2k^2=p^2$，即$p^2$是偶数，因此p也是偶数，这与假设p,q互质矛盾.这个矛盾表明假设“$\sqrt{2}$是有理数”不成立，所以$\sqrt{2}$不是有理数.
（2）[运用并解决]
类比上述的[阅读与思考]，推理说明：
①$\sqrt{3}$不是有理数；
解:①假设$\sqrt{3}$是有理数,那么它可以表示为两个整数的商,设$\sqrt{3}=\frac{n}{m}$(m,n是互质的正整数).由$\sqrt{3}$的意义,可知$(\frac{n}{m})^2=3$,即$n^2=3m^2$.∵$3m^2$是3的倍数,∴$n^2$也是3的倍数.∴正整数n是3的倍数.设$n=3t$(t是正整数),则$n^2=9t^2$,即$9t^2=3m^2$.∴$3t^2=m^2$.∴正整数m也是3的倍数.∴m,n都是3的倍数,不互质,这与假设矛盾.∴假设错误.∴$\sqrt{3}$不是有理数.
②$\sqrt[3]{6}$不是有理数.
②假设$\sqrt[3]{6}$是有理数,那么它可以表示为两个整数的商,设$\sqrt[3]{6}=\frac{b}{a}$(a,b是互质的正整数).由$\sqrt[3]{6}$的意义,可知$(\frac{b}{a})^3=6$,即$b^3=6a^3$.∵$6a^3$是偶数,∴$b^3$也是偶数.∴b是偶数.设$b=2s$(s是正整数),则$b^3=8s^3$.∴$8s^3=6a^3$.∴$4s^3=3a^3$.∴$3a^3$也是偶数.∴$a^3$是偶数.∴a是偶数.∴a,b都是偶数,不互质,这与假设矛盾.∴假设错误.∴$\sqrt[3]{6}$不是有理数.

答案： $2p^2$; $(2k)^2=2p^2$; $2k^2=p^2$
@@解:①假设$\sqrt{3}$是有理数,那么它可以表示为两个整数的商,设$\sqrt{3}=\frac{n}{m}$(m,n是互质的正整数).由$\sqrt{3}$的意义,可知$(\frac{n}{m})^2=3$,即$n^2=3m^2$.
∵$3m^2$是3的倍数,
∴$n^2$也是3的倍数.
∴正整数n是3的倍数.设$n=3t$(t是正整数),则$n^2=9t^2$,即$9t^2=3m^2$.
∴$3t^2=m^2$.
∴正整数m也是3的倍数.
∴m,n都是3的倍数,不互质,这与假设矛盾.
∴假设错误.
∴$\sqrt{3}$不是有理数.
@@②假设$\sqrt[3]{6}$是有理数,那么它可以表示为两个整数的商,设$\sqrt[3]{6}=\frac{b}{a}$(a,b是互质的正整数).由$\sqrt[3]{6}$的意义,可知$(\frac{b}{a})^3=6$,即$b^3=6a^3$.
∵$6a^3$是偶数,
∴$b^3$也是偶数.
∴b是偶数.设$b=2s$(s是正整数),则$b^3=8s^3$.
∴$8s^3=6a^3$.
∴$4s^3=3a^3$.
∴$3a^3$也是偶数.
∴$a^3$是偶数.
∴a是偶数.
∴a,b都是偶数,不互质,这与假设矛盾.
∴假设错误.
∴$\sqrt[3]{6}$不是有理数.