《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

类型 1 单勾股列方程求解
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝6，EF为AB的垂直平分线，求AE的长.
解题思路:连结BE.
设AE＝x，则BE＝x，CE＝10－x.
根据勾股定理，得CE²＋BC²＝BE²，
可列方程为$(10－x)^2＋6^2＝x^2$.
解得x＝$\frac{34}{5}$.

答案： 10－x; $(10－x)^2＋6^2＝x^2$; $\frac{34}{5}$

针对训练
1.（2023·随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点.若BD是∠ABC的平分线，则AD＝5.

答案： 5

【例2】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC，求BD的长.
解题思路:设BD＝x.
则CD＝ .
根据勾股定理，得AD²＝AB²－BD²＝AC²－CD²，可列方程为$15^2－x^2＝13^2－(14－x)^2.$
解得x＝ .

答案： 14－x; $15^2－x^2＝13^2－(14－x)^2$; 9

针对训练
2.如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，求△ABC的面积.

答案：
解:过点A作AD⊥BC于点D.设CD＝x.
∵AC²－CD²＝AB²－BD²，
∴13^2－x^2＝15^2－(4＋x)^2，解得x＝5.
∴AD²＝AC²－CD²＝144.
∴AD＝12.
∴S△ABC＝$\frac{1}{2}$BC·AD＝24.

3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BD＝2，CD＝4，求AD的长.

答案： 解:设AD＝x.在Rt△ACD中，AC²＝AD²＋CD²＝x²＋4²，在Rt△BCD中，BC²＝CD²＋BD²＝4²＋2²，在Rt△ABC中，AC²＋BC²＝AB²，即$x²＋4²＋4²＋2²＝(x＋2)^2，$解得x＝8.
∴AD＝8.