《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

贾宪三角——教材P42“阅读材料”变式(2024·南阳月考改编)阅读材料：
杨辉三角
如果将(a+b)^n(n为非负整数)的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式：
$(a+b)^0=1,$它只有一项,系数为1；
$(a+b)^1=a+b,$它有两项,系数分别为1,1；
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$它有三项,系数分别为1,2,1；
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$它有四项,系数分别为1,3,3,1；
将上述每个式子的各项系数排成一个表.

观察该表,可以发现每一行的首末都是1,并且下一行的数比上一行多1个,中间各数都写在上一行两数的中间,且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写.
该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过,而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”,因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角,在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡是1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年.
(1)应用规律：
①直接写出$(a+b)^4$的展开式$,(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4；$
$②(a+b)^6$的展开式中共有7项,所有项的系数和为64；
(2)代数推理：
已知m为整数,求证$:(m+3)^3-(m-3)^3$能被18整除.

答案：
(1)①$a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
②7；64
(2)证明：$(m+3)^3-(m-3)^3$
$=(m^3+9m^2+27m+27)-(m^3-9m^2+27m-27)$
$=m^3+9m^2+27m+27-m^3+9m^2-27m+27$
$=18m^2+54$
$=18(m^2+3)$
因为$m$为整数，所以$m^2+3$为整数，
所以$18(m^2+3)$能被18整除，
即$(m+3)^3-(m-3)^3$能被18整除。