《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

9.(2024·濮阳期中)如图，表格中是直角三角形的是（ ）

A.①
B.②
C.③
D.①②

答案： B

10.新考向 开放性问题 将勾股数3,4,5分别扩大为原来的2倍、3倍、4倍……可以得到勾股数6,8,10；9,12,15；12,16,20；…，则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数.请写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如：5,12,13；7,24,25.

答案： 答案不唯一，如：5,12,13；7,24,25

11.(2024·南阳方城县期末)笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A，B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离.近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点C(点A，B，C在同一条直线上)，并新建一条路GC，测得BG=5km，GC=4km，BC=3km.
(1)判断△BCG的形状，并说明理由；
(2)求原路线GA的长.

答案： 解：
(1)△BCG是直角三角形.理由如下：
∵BG=5km，GC=4km，BC=3km，且4²+3²=5²，
∴GC²+BC²=BG².
∴△BCG是直角三角形.
(2)
∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离，
∴AG=AB.
∵由
(1)可知，△ACG是直角三角形，
∴设AG=AB=xkm，则AC=(x-3)km.在Rt△ACG中，由勾股定理，得AC²+GC²=GA²，即(x-3)²+4²=x²，解得x=25/6.
∴原路线GA的长为25/6km.

12.用反证法证明命题“若△ABC的三边长a，b，c(a≤b＜c)满足a²+b²≠c²，则△ABC不是直角三角形”时，第一步应先假设△ABC为直角三角形.

答案： △ABC为直角三角形

13.华师二附中校本经典题 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c.求证：a²+b²=c².
【背景文化】勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，它的证明方法多达300余种.
【证明思路】下面是《几何原本》中证明勾股定理的几个步骤：如图，分别以Rt△ABC的三边为边作正方形ABFE、正方形AJKC、正方形BCIH，过点C作AB的垂线，交AB于点D，交FE于点G，连结HA，CF.第一步可证明△ABH≌△FBC；第二步可证明正方形BCIH的面积与四边形BFGD的面积相等；第三步可证明a²+b²=c².
【问题解决】综合上述内容，完成以下证明.
(1)求证：△ABH≌△FBC；
(2)求证：正方形BCIH的面积与四边形BFGD的面积相等；
(3)求证：a²+b²=c².

答案： 证明：
(1)
∵四边形ABFE和四边形CBHI都是正方形，
∴AB=FB，HB=CB，∠ABF=∠CBH=90°.
∴∠HBA=∠CBF.
∴△ABH≌△FBC(SAS).
(2)
∵∠ACB+∠BCI=90°+90°=180°，
∴A，C，I三点共线.
∴AI//BH.
∴S△ABH=1/2S正方形BCIH.
∵CG//BF，
∴S△FBC=1/2S长方形BFGD.又
∵△ABH≌△FBC，
∴S△ABH=S△FBC.
∴S正方形BCIH=S长方形BFGD，即正方形BCIH的面积与四边形BFGD的面积相等.
(3)同
(2)可得，正方形ACKJ的面积与四边形ADGE的面积相等.
∴S正方形ACKJ+S正方形BCIH=S长方形ADGE+S长方形BFGD=S正方形ABFE，即AC²+BC²=AB².
∴a²+b²=c².