《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

5. 如图，点A,C,D,B在同一条直线上，且AC=BD，∠A=∠B，∠E=∠F. (1)求证:△ADE≌△BCF；(2)若∠BCF=75°，求∠CMD的度数。解:(1)证明:∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC.在△ADE和△BCF中，∠E=∠F，∠A=∠B，AD=BC，∴△ADE≌△BCF(AAS).(2)∵△ADE≌△BCF，∴∠ADE=∠BCF=75°.∴∠CMD=180°-∠BCF-∠ADE=30°.

答案： 解:
(1)证明:
∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC.在△ADE和△BCF中，∠E=∠F，∠A=∠B，AD=BC，
∴△ADE≌△BCF(AAS).
(2)
∵△ADE≌△BCF，
∴∠ADE=∠BCF=75°.
∴∠CMD=180°-∠BCF-∠ADE=30°.

6. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，BC=DE，DE//AB，∠DCE=∠A. 求证:CD=AB.证明:∵DE//AB，∴∠EDC=∠B.在△CDE和△ABC中，∠DCE=∠A，∠EDC=∠B，DE=BC，∴△CDE≌△ABC(AAS).∴CD=AB.

答案： 证明:
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B.在△CDE和△ABC中，∠DCE=∠A，∠EDC=∠B，DE=BC，
∴△CDE≌△ABC(AAS).
∴CD=AB.

7. 新考向 开放性问题 如图，已知∠ABC=∠DEF=90°，AF=DC，要使△ABC≌△DEF，给出下面两个条件：①AB=DE；②∠A=∠D. 请从以上两个条件选择一个你认为合适的条件证明△ABC≌△DEF.解:选择条件①AB=DE，证明:∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF.∵∠ABC=∠DEF=90°，∴△ABC和△DEF均为直角三角形.在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)；选择条件②∠A=∠D，证明:同理可证AC=DF.在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(AAS).

答案： 解:选择条件①AB=DE，证明:
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF.
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC和△DEF均为直角三角形.在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF，AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)；选择条件②∠A=∠D，证明:同理可证AC=DF.在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF(AAS).

8. 如图，这是某单摆装置示意图，摆线OA=OB=OC=30 cm，当摆线位于OB的位置时，过点B作BD⊥OA于点D. 当摆线位于OC的位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=24 cm. (1)求证:OE=BD；(2)求AD的长.解:(1)证明:∵OB⊥OC，∴∠BOD+∠COE=90°.又∵CE⊥OA，BD⊥OA，∴∠CEO=∠ODB=90°.∴∠BOD+∠B=90°.∴∠COE=∠B.在△COE和△OBD中，∠CEO=∠ODB，∠COE=∠OBD，OC=BO，∴△COE≌△OBD(AAS).∴OE=BD.(2)∵△COE≌△OBD，∴CE=OD=24 cm.∵OA=30 cm，∴AD=OA-OD=30-24=6(cm).

答案： 解:
(1)证明:
∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°.又
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°.
∴∠BOD+∠B=90°.
∴∠COE=∠B.在△COE和△OBD中，∠CEO=∠ODB，∠COE=∠OBD，OC=BO，
∴△COE≌△OBD(AAS).
∴OE=BD.
(2)
∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD=24 cm.
∵OA=30 cm，
∴AD=OA-OD=30-24=6(cm).