《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

6.【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)，以上分解因式的方法称为分组分解法.对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例)”，也可以是“三、一(或一、三)分组”.
根据以上阅读材料解决问题：
【跟着学】分解因式：
$a³－b³＋a²b－ab²＝(a³＋$ $)－(b³＋$ $)＝a²($ $)－$ $(a＋b)＝($ $)(a＋b)＝(a－b)(a＋b)^2.$
【我也可以】分解因式：4x²－2x－y²－y.

答案： a²b; ab²; a＋b; b²; a²－b²; $(a－b)(a＋b)^2$; 解：原式＝(4x²－y²)－(2x＋y)＝(2x－y)(2x＋y)－(2x＋y)＝(2x＋y)(2x－y－1).

【拓展训练】已知a，b，c为△ABC的三边长，若a²＋b²＋2c²－2ac－2bc＝0，则△ABC的形状为等边三角形.

答案： 等边三角形

7.A|湖南师大附中校本经典题 阅读下列解题的过程.
分解因式：x⁴＋64.
解：$x⁴＋64＝x⁴＋16x²＋64－16x²＝(x²＋8)^2－16x²＝(x²＋8＋4x)(x²＋8－4x).$
请按照上述解题思路完成下列分解因式：
(1)a⁴＋4；(2)x⁴－43x²y²＋81y⁴.

答案： 解：
(1)原式$＝a⁴＋4a²＋4－4a²＝(a²＋2)^2－4a²＝(a²＋2a＋2)(a²－2a＋2).
(2)$原式$＝x⁴－18x²y²＋81y⁴－25x²y²＝(x²－9y²)^2－25x²y²＝(x²－9y²＋5xy)(x²－9y²－5xy).$

8.计算$(-2)^100＋(-2)^101$的结果是($ $)
A.－2^100
B.2^100
C.－2
D.－1

答案： A

9.若a－b＝1，则a³－a²b＋b²－2ab的值为1.

答案： 1

10.A|华师二附中校本经典题（2024·南阳宛城区月考）阅读理解并解答：我们把多项式a²＋2ab＋b²，a²－2ab＋b²叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式值的最大(或最小)值问题.例如：$①x²＋2x＋3＝x²＋2x＋1＋2＝(x＋1)^2＋2.$∵$(x＋1)^2$是非负数，即$(x＋1)^2≥0，$∴$(x＋1)^2＋2≥2.$则代数式x²＋2x＋3的最小值是2，这时相应的x的值是$－1.②3x²－12x＋5＝3(x²－4x)＋5＝3(x²－4x＋4－4)＋5＝3(x－2)^2－12＋5＝3(x－2)^2－7.$∵$(x－2)^2$是非负数，即$(x－2)^2≥0，$∴$3(x－2)^2－7≥－7.$
（1）代数式3x²－12x＋5的最小值是 ，这时相应的x的值是 ；
（2）知识再现：当x＝ 时，代数式x²－6x＋12有最小值，这个值是 ；
（3）知识运用：若y＝－x²＋2x－3，则当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（4）知识拓展：若－x²＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值.

答案： －7; 2; 3; 3; 1; 大; －2; 解：
∵－x²＋3x＋y＋5＝0，
∴y＝x²－3x－5.
∴$x＋y＝x²－2x－5＝(x－1)^2－6.$
∵$(x－1)^2$是非负数，即$(x－1)^2≥0，$
∴$(x－1)^2－6≥－6，$即y＋x的最小值为－6.