《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

小专题3 完全平方公式的变形——教材P44习题T7的变式与应用
【例】（教材P44新增习题T7变式）已知a+b=6,ab=2,求下列各式的值.
(1)a²+b²；
(2)(a－b)²；
(3)a²－ab+b².

答案： 解：
(1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝6²－2×2＝32.
(2)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab＝6²－4×2＝28.
(3)a²－ab＋b²＝(a²＋b²)－ab＝32－2＝30.

【变式】已知x+y=6,xy=3,求下列各式的值.
(1)x²+4xy+y²；
(2)x⁴+y⁴.

答案： 解：
(1)
∵x＋y＝6，
∴(x＋y)²＝x²＋2xy＋y²＝36.
∵xy＝3，
∴x²＋y²＝30.
∴x²＋4xy＋y²＝42.
(2)由
(1)知，x²＋y²＝30，xy＝3，
∴x⁴＋y⁴＝(x²＋y²)²－2x²y²＝30²－2×3²＝882.

1.已知a，b都是正数，a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝（ ）
A.－3
B.3
C.±3
D.9

答案： B

2.若4a²＋b²＝57，ab＝6，则2a＋b的值为±9.

答案： ±9

3. A|石家庄外国语校本经典题 已知(a＋b)²＝16，(a－b)²＝4，且a，b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是3.

答案： 3

4.(2023·南阳十三中月考)已知a²＋b²＝13，(a－b)²＝1，则(a＋b)²＝25.

答案： 25

5.若m－n＝4，mn＝－3，则(m²－4)(n²－4)的值为－15.

答案： －15

6.若x＋y＝8，x²y²＝4，则x²＋y²＝60或68.

答案： 60或68

7. 新考向 阅读理解 阅读下列材料：已知x满足(9－x)(x－4)＝4，求(4－x)²＋(x－9)²的值.
设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5.∴(4－x)²＋(x－9)²＝(9－x)²＋(x－4)²＝a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝5²－2×4＝17.
请仿照上面的方法求解下面问题：
已知x满足(5－x)²＋(x－2)²＝5，求(5－x)(x－2)的值.

答案： 解：设5－x＝a，x－2＝b.则(5－x)²＋(x－2)²＝a²＋b²＝5，a＋b＝(5－x)＋(x－2)＝3.
∴(5－x)(x－2)＝ab＝$\frac{(a＋b)^2－(a^2＋b^2)}{2}$＝$\frac{3^2－5}{2}$＝2.